上海市进才中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

上海市进才中学2022学年第二学期期末考试高一年级数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 2023年6月21日 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上） 1. 已知，则=__________. 2. 已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为______. 3. 若是关于x的实系数方程的一个根，则_______． 4. 已知数列为等比数列，其前项和为，且，公比为，则______. 5. 已知的三边，，，则角的大小是______. 6. 设，则在方向上数量投影为______. 7. 已知数列的前项和为，数列满足，则______. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中论述了有关二阶等差数列的概念，它与一般的等差数列不同，相邻两项的差并不相等，但是逐项差数构成等差数列.例如，数列1，3，6，10，相邻两项的差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列，则________. 9. 如果复数满足，那么的最大值是______. 10. 在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____． 11. 在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为___________. 12. 规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______． 二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置.） 13. ，，，且三点共线，则=（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 14. 下列函数中，最小正周期为是（ ） A. B. C. D. 15. 若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设.已知关于x方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ） A. 只有纯虚数根 B. 只有实数根 C. 有两个实数根，两个纯虚数根 D. 既没有实数根，也没有纯虚数根 三、解答题（本大题共5题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置.） 17. 已知复数纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 18. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量； （2）若，设，的夹角为，若，求证：． 19. 某企业产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件. （1）求、的值，并写出与满足的关系式； （2）利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由. 20. 已知函数（，，）的图象如图所示． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作． ①求函数的最小值； ②若函数在内恰有6个零点，求m的值． 21. 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令． （1）若，写出，，，的值； （2）设，若，求的值及时数列的前项和； （3）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”． 上海市进才中学2022学年第二学期期末考试高一年级数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 2023年6月21日 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】3 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】4952 【9题答案】 【答案】6 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】512 【12题答案】 【答案】（注：可以用不等关系表示） 二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置.） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置.） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解