2.5一元二次方程的根与系数的关系 暑假自学练习 2022-2023学年北师大版数学九年级上册

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （4）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 例1．已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值： （1）x1+x2； （2）x1•x2； （3）（x1﹣1）（x2﹣1）； （4）x1（x2+1）+x2（x1+1）； （5）x12+x22； （6）（x1﹣x2）2； （7）+ （8）+． 变式：已知x1、x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：（1）x1x22+x12x2；（2）x12+x22． 多变题型 题型1．已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根． 变式：已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x﹣k2﹣2k+3＝0的一个根为0，求k值及方程的另一个根． 题型2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程的两根x1，x2满足＝3，求出k的值． 变式：已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值． 题型3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x++1＝0． （1）k取何值时，方程有两个实数根； （2）若上述一元二次方程两根为一矩形两相邻边的边长，且此矩形对角线长为，求k的值． 变式：已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长． （1）说明这个方程有两个不相等的实数根． （2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值． 随堂练习 1．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（　 　） A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根 2．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为x1、x2，那么x12+x22的值是　 　． 3．实数a、b（a≠b）满足a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，则（　 　） A．a+b＝3，a2+2b＞0 B．a+b＝3，a2+2b＜0 C．a+b＝﹣3，a2+2b＞0 D．a+b＝﹣3，a2+2b＜0 4．对于一元二次方程x2+bx+c＝0，若b2﹣4ac≥0，则有x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．方程x2﹣3x+2＝0…①，y2﹣4y+5＝0…②所有根之和为 　 　． 5．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则该直角三角形的面积是　 　． 6．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝9，求m的值． 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值； （2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． ( 38 ) ( 37 ) 学科网（