2.4用因式分解法求解一元二次方程 暑假自学练习 2022-2023学年北师大版数学九年级上册

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 用因式分解法求解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程 定义 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 一般步骤 一移 通过移项把一元二次方程化成一般形式 二分 将方程左边分解为两个一次式的乘积 三化 令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程 四解 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 例1．用适当的方法解下列方程 （1）2x（x﹣3）＝3﹣x； （2）（3x﹣2）2＝4（x+1）2． 变式：解方程：（1）x2+4x＝0； （2）（2x﹣1）2＝4x﹣2． 选择适当的方法解一元二次方程 1.一元二次方程的四种解法中，选取顺序依次为直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法. 2.一元二次方程解法的适用范围及特点如下表： 方法 理论依据 适用范围 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 =n(n≥0) 求解迅速、准确,但只适用于一些特殊结构的方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 解法繁琐，当二次项系数为1时,用此法较简单 公式法 b2－4ac≥0 所有一元二次方程 计算量大，易出现符号错误 因式分解法 若ab=0，则a和b至少有一个为0 方程一边为0,另一边是易于分解成两个一次因式乘积的形式 只适用于一些特殊的方程 例2．用适当的方法解下列方程 （1）x2﹣4x+1＝0 （2）x2+5x+7＝0 （3）3x（x﹣1）＝2﹣2x 变式：用适当的方法解下列一元二次方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）x（x﹣3）+x＝3； （3）3x2﹣1＝4x； （4）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2． 多变题型 题型1．对于一元二次方程（2x﹣5）2＝（x﹣2）2，你有几种不同的解法？你认为哪种方法最简便？ 变式：用两种不同的方法解方程：3x2﹣6x+1＝0． 题型2．阅读下面解方程的过程：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±． 故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． 由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 解答下列问题：利用换元法解方程：（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0． 变式：阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣3x2+2＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣3y+2＝0①，解得y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝2时，x2＝2，∴x＝±； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到 　 　的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程：（x2+2x）2﹣5（x2+2x）﹣6＝0． 题型3．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”． 如分解二次三项式：2x2+5x﹣7，具体步骤为： ①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2＝2×1，把常数项﹣7也分解为两个因数的积，即﹣7＝﹣1×7； ②按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×（﹣1）+1×7＝5． ③这样，就可以按图示中虚线所指，对2x2+5x﹣7进行因式分解了，即2x2+5x﹣7＝（2x+7）（x﹣1）． 例：分解因式：2x2+5x﹣7解：2x2+5x﹣7＝（2x+7）（x﹣1） 请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解： （1）x2+4x+3 （2）2x2+3x﹣20． 随堂练习 1．方程（x+1）2＝x+1的解是（　 　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣1 2．一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（　 　） A．5 B．6 C．7.5 D．12 3．已知一个直角三角形的两条直角边的