2.3 用公式法求解一元二次方程 暑假自学 2022-2023年北师大版九年级数学上册

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 用公式法求解一元二次方程 用公式法解一元二次方程 求根公式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)， 当b2－4ac≥0时，它的根是x＝ ，这个式子称为一元二次方程的求根公式 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 一般步骤 一化 把一元二次方程化成一般形式 二定 确定公式中a，b，c的值 三求 求出b2－4ac的值 四代 若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解，当b2－4ac＜0时，方程无实数解． 拓展延伸 （1)b2－4ac≥0及a≠0是求根公式的前提，不可忽略若b2－4ac＜0， 无意义，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根. （2）由求根公式可知，元二次方程的根是由a，b，c的值决定的，只要确定了a，b，c的值就可以代入求根公式求一元二次方程的根 例1．解方程:（1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣3）＝x﹣4． 变式：解一元二次方程:（1）x2﹣x﹣4＝0； （2）（2x+3）（x﹣6）＝16． 一元二次方程根的判别式（根据根判断△的范围） 式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示． (1)当Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根． (3)当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根． (4)当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根． 要点精析：(1)利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况， 反之，已知方程根的情况可以确定方程待定字母系数的取值范围； (2)计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a，b，c后再计算； (3)一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即Δ≥0. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 注意：一元二次方程有实数根包括有两个不相等的实数根和两个相等的实数根两种情况，此时△=b2－4ac≥0，切勿丢掉“等号” 规律方法 （1）当系数ac异号时，一元二次方程一定有两个不相等的实数根。 （2）当△=0时，元二次方程一定可以化成在边完全平方，右边等于0的形式。 例2．不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：（1）2x2+x+1＝0； （2）2x2+kx﹣1＝0． 变式：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．当b＝a+2时，判断方程根的情况； 多变题型 题型1．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0． （1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 变式：解答题（用公式法解关于x的方程） （1）mx2﹣（3m+1）x+3＝0（m≠0） （2）x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2＝0． 题型2．已知关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根．求k的取值范围； 变式：关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此时方程的根． 题型3．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形土地做养鸡场．如图所示，养鸡场一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）求这个养鸡场的长和宽． 变式：如图所示，利用一面墙，用40m的篱笆围成一个150m2的矩形ABCD场地． （1）若墙长不限，求矩形ABCD的边AB，BC分别为多少？ （2）若墙长13m，利用（1）题的计算结果，说明具体围法． 题型4．关于x的方程（a+b）x2+2cx﹣a+b＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边长． （1）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC为等边三角形，试求出这个方程的解． 变式：在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝4，若b、c是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0两个实数根