2.2 用配方法求解一元二次方程 学案 2022--2023学年北师大版九年级数学上册

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 用配方法求解一元二次方程 用直接开平方法解一元二次方程 定义 根据平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 思路 将一元二次方程转化为=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根 形式 ①x²=n(n≥0);②=n(n≥0);③a=b(ab≥0且a≠0) 拓展延伸 （1）因为负数没有平方根，所以关于x的方程=n有解的前提条件是n≥0，即n为非负数. （2）运用直接开平方法时，可以把x+m看成一个整体 易错点津：利用直接开平方法解方程时，要避免漏掉负解. 例1．解下列方程：（x﹣1）2＝4； 变式：解方程：6（x﹣1）2﹣54＝0． 用配方法解一元二次方程 定义 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法 一 般 步 骤 ①化 方程两边都除以二次项系数，把二次项系数化为1 ②移 把常数项移项后单独放在方程的右边 ③配 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成=n的形式 ④解 若n≥0，就可用直接开平方法求出方程的两个实数根x=±-m.若n<0，则方程无实数根.若n=0，则方程有两个相等的实数根 例2．用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根． 变式：用配方法解方程：3x2﹣12x＝﹣15． 多变题型 题型1．如图所示，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551m2，求修建的路宽为多少？ 变式：如图，利用一面墙（墙长为10m），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为48m2的矩形场地？ 题型2．已知a，b，c是△ABC的三边，其中a，b满足a2+b2＝6a+14b﹣58，c满足|5﹣c|＝1，求△ABC的周长． 变式：先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3 问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值． （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 题型3．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题： 求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1． 当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为 　 　； （2）求代数式x2+10x+32的最小值； （3）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值． 变式：若x2+2x﹣4＝（x﹣a）2+b． （1）a＝　 　，b＝　 　． （2）当x＝　 　时，代数式x2﹣2x﹣4有最小值，最小值是　 　． （3）求代数式﹣x2﹣4x﹣8的最大值是． 随堂练习 1．用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（　 　） A．（x﹣5）2＝24 B．（x﹣5）2＝26 C．（x+5）2＝24 D．（x+5）2＝26 2．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是（　 　） A．23 B．17 C．15 D．9 3．已知M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，则M、N的大小关系是（　 　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 4．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为　 　． 5．代数式x2﹣4x﹣2019的最小值是（　 　） A．﹣2017 B．﹣2019 C．﹣2021 D．﹣2023 6．解方程：（1）（2x﹣1）2＝16； （2）2x2+8x﹣1＝0． 7．发现与探索．小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4 无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4． 根据小丽的思