2.1 认识一元二次方程 暑假自学 2022-2023年北师大版九年级数学上册

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 认识一元二次方程 一元二次方程的定义：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个条件：整理前：（1）整式方程；（2）含有一个未知数； 整理后：（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【易错点津】 （1）次数最高的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如方程(m-1)x²+3x+5=0不一定是一元二次方程. （2）判断一元二次方程时要注意二次项系数不等于0的前提条件. （3）整式方程是指未化简时，方程两边都是整式. （4）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，是对方程整理之后而言的. 例1．下列方程中，一元二次方程共有（　 　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式：下列方程是一元二次方程的是（　 　） A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0 C．x2﹣＝5 D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数） 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整； (2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0. （3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （5）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。 一元二次方程的特殊情况 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2＋bx＝0(a≠0) a b 0 ax2＋c＝0(a≠0) a 0 c ax2＝0(a≠0) a 0 0 易错点津 三次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式的前提下定义的，所以求一元二次方程各项的系数时，必须先把一元二次方程化为一般形式，系数要包括各项前面的符号. 例2．把方程（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 解：（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6， 3x2﹣9x＝0，所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是0． 变式：把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）2x2＝1﹣3x （2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x． 解：（1）2x2＝1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1； （2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0． 根据实际问题列一元二次方程 例3．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息 （1）列出关于x的方程； （2）将方程化为ax2+bx+c＝0的形式，并指出a，b，c的值． 解：（1）由题意可得：x（x﹣1）＝756； （2）x（x﹣1）＝756 整理得：x2﹣x﹣756＝0， 则a＝1，b＝﹣1，c＝﹣756． 变式：有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（　 　） A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 一元二次方程的解：（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 （2）用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方法及步骤： 方法：当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值在某一精确度要求的范围内接近于0时，x的值即为一元二次方程的近似解．对于实际问题中解的估算，应先根据实际情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体的求值计算从两边接近方程