全等三角形辅助线专题（半角模型）2022-2023学年北师大版数学七年级下册

北师版数学七下全等三角形辅助线专题（半角模型） 1．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，MB＝1，CN＝3，求MN的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°． 在△ABM和△ACE中， ， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE． ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°． 于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°． 在△MAN和△EAN中， ， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN＝EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2． ∴MN2＝BM2+NC2． ∵BM＝1，CN＝3， ∴MN2＝12+32， ∴MN＝． 2．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG； （2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∴∠EAG＝90°， 在△FAE和△GAF中， ， ∴△FAE≌△△FAG（SAS）， ∴EF＝FG； （2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°． 在△ABM和△ACE中， ， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE． ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°． 于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°． 在△MAN和△EAN中， ， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN＝EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2． ∴MN2＝BM2+NC2． ∵BM＝2，CN＝3， ∴MN2＝22+32， ∴MN＝． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD． 【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示： ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°， ∴∠ABM＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE， ∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF， 即∠MAE＝∠EAF， 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴EF＝ME， ∵ME＝BE+BM， ∴EF＝BE+FD． 4．在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． （1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN． （2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？ 答：　一定成立　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． （3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠BPC＝120°，BP＝CP， ∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°