第19讲 函数模型的应用-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第19讲 函数模型的应用 1．理解函数是描述客观世界中变脸关系和规律的重要数学语言和工具； 2．养成画图、识图和用图的习惯，从图中观察出函数模型； 3．了解数学模型的概念，直到数学建模的意义，能利用给定的函数模型解决实际问题，能选择适当的函数模型拟合实际问题。 一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型（也称线性函数模型）：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 二、用函数模型解应用问题的四个步骤 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3、求模：求解数学模型，得出数学模型； 4、还原：将数学结论还原为实际问题。 三、函数拟合与预测的一般步骤 1、通过原始数据、表格，绘出散点图； 2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5、利用选取的拟合函数进行预测； 6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。 考点一：一次函数模型 例1．（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（ ） A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为 C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 【变式训练】某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： （1）A，型号电脑每台进价各是多少元？ （2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 考点二：二次函数模型 例2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ） A． B．C． D． 【变式训练】随着新冠病毒的暴发，感染人数越来越多，医疗资料受到极大的挑战，某地政府开始建立方舱医院，建筑公司为某方舱医院一病区预备的建筑材料总长为158米，计划建立24间病房，分为两排，过道的宽为1米，病房的长为x米，如图所示，如何设计病房的长、宽才能使单间病房面积最大？ 考点三：分式函数模型 例3．某乡镇卫生院为响应政府号召，决定在院内投资96000元建一个长方体的新冠疫苗接种点，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方造价450元，顶部每平米造价600元，设正面长为x米，每侧砖墙长均为y米. （1）用x表示y，并写出x的范围； （2）求出新冠疫苗接种点占地面积S的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？ 【变式训练】某地上年度电的价格为元/度，年用电量为亿度.本年度计划将电的价格调至元/度~元/度（包含元/度和元/度），经测算，若电的价格调至元/度，则本年度新增用电量（亿度）与（元/度）成反比，且当时，. （1）与之间的函数关系式为____； （2）若电的成本价为元/度，则电的价格调至____元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加.（收益用电量（实际电的价格成本价）） 考点四：幂数函数模型 例4．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【变式训练1】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示