专题二十 数学思想方法-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题二十、数学思想方法 【专题导航】 目录 【考点一 方程与函数思想】........................................1 【考点二 数形结合的思想方法】.....................................2 【考点三 分类的思想方法】..........................................5 【考点四 化归的思想方法】..........................................6 【考点五 整体思想方法】............................................7 【聚焦考点1】 方程思想和函数思想 方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想,在解决一般数学问题中具有重大的意义。在初中数学中,方程与函数是极为重要的内容,对各类方程和简单函数都作较为系统的学习研究。对一个较为复杂的问题,常常只须寻找等量关系,列出一个或几个方程(方程组)或函数关系式,就能很好地得到解决。 【典例剖析1】 【考点一 方程与函数思想】 【典例1-1】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺． A．26 B．24 C．13 D．12 【典例1-2】如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE：EB＝1：3，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　） A．3：4 B．6： C．：2 D．2： 针对训练1 【变式1-1】定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数． （1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　 　； （2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　 ； （3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值． 【变式1-2】某班40名学生的某次数学测验的平均成绩是69分，成绩统计表如下： 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 人数（人） 2 x 10 y 4 2 （1）求x和y的值； （2）设此班40名学生成绩的众数为a，中位数为b，求代数式（a﹣b）2的值． 【聚焦考点2】 数形结合思想方法 　　数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具,同时也使许多代数问题具有了显明的直观性。数形结合是初中数学中十分重要的思想,在数学问题的解决中具有数学独特的策略指导与调节作用。 【典例剖析2】 【考点二 数形结合的思想方法】 【典例2-1】平面直角坐标系中两点间距离公式：A（x1，y1）、B（x2，y2），AB= 如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论： ①线段AB的长为； ②在，若，则的面积是5； ③当时，点P的坐标为； ④设点P的坐标为，则的最小值为． 其中正确的结论有______． 【典例2-2】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米． 针对训练2 【变式2-1】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）求AC+CE的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请构图并直接写出代数式的最小值． 【变式2-2】如图，一只蚂蚁从B点沿数轴向右爬行2个单位长度到达A点，若点B表示的数为，设点A所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求|1﹣m|（m+6）+4的值． 【变式2-3】如图，直线y1x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3． （1）直接写出b值：　4　； （2）当x取何值时，0＜y1≤y2？ （3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值． 【聚焦考点3】 分类思想方法 　　分类思想方法是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。 【典例剖析3】 【考点三 分类的思想方法】 【典例3-1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ＝2，