空间向量及其运算导学案-2024届高三数学一轮复习

高2024级 高考 一轮复习·数学导学案 姓名： 使用时间： 第八章 第六节　空间向量及其运算 一、学习目标 【课标解读】 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 【衍生考点】 1.空间向量的线性运算 2.共线定理、共面定理的应用 3.空间向量数量积及应用 二、相关知识回顾 名称 定义 空间向量 在空间中,具有　　　　和　　　　的量,其大小叫作向量的长度或模  相等向量 方向　　　　且模　　　　的向量  相反向量 方向　　　　且模　　　　的向量  共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　　　或 　　　　的向量  共面向量 平行于　　　　　　　　的向量  【微点拨】 空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容类比进行学习,将达到事半功倍的效果. 【微思考】“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确? 2.空间向量中的有关定理 定理名称 语言描述 共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb   共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 空间向量 基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任意  一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc 【微点拨】 (1)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量. (2)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. 【微思考】基向量和基底一样吗? 3.空间向量的数量积及运算律 (1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos<a,b>.   变形式:①a⊥b⇔a·b=0;②|a|2=a2 (2)空间向量数量积的运算律: ①结合律:(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 【微点拨】向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. 4.空间向量的坐标运算 (1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 ①|a|=. ②a+b=　　　　　　　　　　　.  ③a-b=　　　　　　　　　　　.  ④λa=　　　　　　　　.  ⑤a·b=　　　　　　　　.  ⑥cos<a,b>=(a≠0,b≠0). (2)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=　　　　　　　　　　　　　　　, |AB|=||=.  【微思考】空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗? 【常用结论】 1.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线: (1)=λ(λ∈R); (2)对空间任一点O,+t(t∈R); (3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1). 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明共面: ①对空间任一点O,若=x+y+z(x+y+z=1),则P,M,A,B四点共面. ②=x+y,则P,M,A,B四点共面. ③对空间任一点O,+x+y,则P,M,A,B四点共面. ④(或),则P,M,A,B四点共面. 三、考点精讲精练 考点一 空间向量的线性运算 典例突破 例1.(1)(2021江西师大附中模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M 为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c (2)(2021河北张家口高三检测)在三棱锥O-ABC中,M是OA的中点,P是△ABC的重心.设a=,b=,c=,则=(　　) A.a-b+c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 突破技巧空间向量线性运算中的三个关键点 对点训练1(2021吉林白城一中月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量运算不正确的是(　　) A.=-a+b+c B.=-a+b+c C.=a+b+c D.=-a-b+c 考点二 共线定理、共面定理的应用 典例突破 例2.(1)(2021浙江舟山中学月考