第二讲 求函数值域的九种常用方法 讲义-2024届高三数学一轮复习

第二讲 求函数值域的九种常用方法 一、函数值域的定义: 函数值的集合叫做函数的值域. 二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则. 三、常见函数的值域 (1) 一次函数的值域为R. (2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， (3)反比例函数的值域为. (4)指数函数的值域为. (5)对数函数的值域为R. (6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R. (7)对勾函数：对勾函数： 值域： 四、常用方法 方法一 观察法 根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数；出现如下形式 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域 【例1】函数，的值域为________ 【解析】因为，，， 所以f(x)的值域为． 【例2】求函数的值域． 【解析】由函数，则： 定义域为： 得：， 值域为： 方法二 分离常数法 ①形如的函数求值域,，将原函数化为 如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为； 如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域. ② 更进一步，如果我们把x的位置换成一个函数，即可以考虑用分离常数的方法进行求解 【例1】求函数的值域。 【解析】∵， ∵，∴， ∴函数的值域为。 【例2】.求函数的值域 【解析】由已知得 所以，函数值域为 【例3】求函数的值域 【解析】 方法三 配方法 对于二次函数或二次形函数 可以考虑用配方法求值域，充分利用二次函数的性质，在对称轴处函数取得最大（小）值如果一个函数是二次函数，或可以整理为二次形函数，可以考虑用配方的方法求其值域，配方的意义在于可以找到函数的对称轴，并在对称轴处取得最大（小）值。同时我们还要注意函数的定义域，是否能取到函数的最大（小）值 【例1】求函数的值域 【解析】因为 所以，所以值域为 【例2】求函数的值域 【解析】令当时，，又， 所以，，即 所以。 【例3】求函数的值域 【解析】可以将其换元转化为二次函数令 则 即 所以函数可整理为： 此时，发现函数在 单调递增，而t的取值范围是（这里一定要看清，用的是t的取值范围，而不是x的取值范围） 所以当t=2时，函数取到最小值-2 所以函数值域为 方法四 换元法 利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，换元形一定要注意新元的取值范围，它是新函数的定义域。形如的函数，令；形如 的函数，令转化为二次函数求解；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.三角代换的常见形式 （1）若题目中含有，则可设 （2）若题目中含有则可设，其中 （3）若题目中含有，则可设，其中 （4）若题目中含有，则可设，其中 （5）若题目中含有，则可设其中 【例1】求函数的值域 【解析】令 通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式， 容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在t=1时取到最大值 【例2】求函数的值域 【解析】 令 的值域为 【例3】求函数 的值域 【解析】可以设，注意取值范围 根据， 即函数值域为 方法五 判别式法 形如不同时为0)的函数求值域,利用去分母的形式,把函数转化成关于的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出范围,即函数的值域判别式法实际上体现了一种方程思想，将函数的值域问题转化为了方程有解的问题 【例1】求函数的值域 【解析】函数 的定义域是 函数可以转化为 所求函数的值域需要使得方程有解，所以要求 得，解得 所以函数值域为 【例2】求函数的值域. 【解析】因为,所以这个函数定义域为.整理函数得,即 当时,方程无解;当时,所求函数的值域需要使得方程有解,即 解得所以函数的值域为. 方法六 函数的有界性法 形如的一类复合函数时求值域,利用函数有界性:用的表达式表示,,再利用函数的有界性,解不等式,求出的范围函数的值域 【例1】求函数的值域. 【解析】函数定义域为， （1） 当时方程不成立,所以 （2） 当 . 因, 即 , 解得 所以函数的值域是. 【例2】求函数的值域 【解析】注意到，余弦函数是有界的，即，由此可知分母不会为0， 利用辅助角公式可得： ，易知根式不为0 所以有 两边平方 整理得： 解得函数值域为： 方法七 单调性法 求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域 【例1】求函数的值域. 【解析】 【例2】求函数的值域. 【解析】令则在上都是增函数，所以在上是增函数 当时， 当时，故所求函数的值域为 【例3】求函数的值域 【解析】 函数的定义域为 可以将函数看成