第一讲函数的定义域问题 讲义-2024届高三数学一轮复习

第一讲 函数的定义域问题 一、函数定义域的概念 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 二、常见函数的定义域 1.一次函数的定义域为； 2.二次函数的定义域为； 3.指数函数（且）定义域为； 4.对数函数（且）的定义域为； 5.幂函数（互质且）， （1）当，为奇数且时，定义域为； （2）当为奇数为偶数且时，定义域为； （3)当，为奇数且时，定义域为； （4）当是奇数，为偶数且时，定义域为； 6.正弦函数、余弦函数定义域都为； 7.正切函数的定义域为. 三.求函数的定义域时，应注意 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 四 函数定义域的求法 （一）具体函数的定义域，即已知函数解析式，求定义域 紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念。这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； （1）若的解析式是整式，则其定义域为R； （2）若的解析式是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合； （3）若的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子 大于或等于0的实数的集合； （4）若的解析式是指数式，若指数为负指数或0指数，则其底数不为0，若指数 含变量，则其底数应为大于0且不等于1； （5）若的解析式是对数式，则真数应大于0，若底数含未知数，则底数大于0且不等于1； （6）若的解析式是正切函数，则正切后部分不为； （7）若是有限个函数四则运算得到，则其定义域为这几个函数定义域的交集（若含除法，则除式不为0）。 【例1】求函数 的定义域. 【解析】 要使函数有意义须满足： 所以所求函数的定义域为 【例2】求函数的定义域 【解析】 要使函数有意义须满足：，解得 【例3】求函数的定义域 【解析】要使函数有意义须满足， 解得， 当时，解得不等式组，所以函数的定义域为 （二）实际问题的定义域使实际问题有意义的集合； 【例1】周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域 【解析】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为， 由得，故这个函数的定义城是. （三）复合函数的定义域的求法 定义域（永远）指的是x的取值范围 同一个下括号内的范围是一样的 1.已知的定义域,求复合函数的定义域 若的定义域为,求出中的的范围, 即为的定义域 【例1】已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； 【解析】由于函数定义域为[1，2]， 由，解得， 所以函数的定义域为 【例2】已知的定义域为，求函数的定义域。 【解析】令，知的定义域为，所以，即，解得，所以所求函数的定义域为. 2. 已知复合函数的定义域,求的定义域 若的定义域为,则由确定的值域,即为的定义域. 【例1】已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； 【解析】设，因为， 所以，即，函数的定义域为[3，5]， 由此得函数的定义域为[3，5]； 【例2】已知函数的定义域为，求函数的定义域 【解析】因为的定义域为， 所以，所以．令，则． 即中，． 故的定义域为． 3.已知复合函数的定义域,求的定义域 可由的定义域(所对应的范围 ) 求得的值域,再由 的值域就是 的值域,从而求得中所对应的范围, 即为的定义域. 【例1】已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域 【解析】因为函数的定义域为[1，2]，即， 所以，所以函数的定义域为[3，5] 由，得， 所以函数的定义域为[2，3]. 【例2】已知函数的定义域为，求函数的定义域 【解析】∵函数的定义域为 ∴， ∴函数中， ∴ 所以函数的定义域为[] 学科网（北京）股份有限公司 $