2023年中考备考数学压轴题培优提升训练讲义 ------ 二次函数与矩形存在性 （公式法求解）

二次函数与矩形存在性提升训练(公式法求解) 知识提炼 一、公式来源依据: 1两点间坐标公式(上章有描述) 2平行四边形定点公式(上章有描述) 3矩形的判别:对角线相等的平行四边形 平面四点坐标A(,),B( ,),C(),D(,) 由以上得到矩形判别公式:(以AC,BD为对角线为例) 二、公式解读: 上式中①和②式子是判定平行四边形依据,③式为对角线相等,从而判定为矩形。 由上可以知矩形最多可以有三个未知量,带入以上方程组可以得到一个三元一次方程组,可解。 由三个未知量,则可以判别出矩形至少有两个动点,最多可以有三个动点。 (1) 两个定点+1个全动点+一个半动点 (2) 一个定点+3个半动点。 注释:(半动点是横纵坐标其中一个已知,一个未知) 3、 求解方法: 确定半动点和定点-分类讨论-列出公式求解 【例题】如图,抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C,连接AC. (1)求此抛物线的解析式; (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DM⊥x轴,垂足为点M,DM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出点N的坐标,若不存在,请说明理由; (3)已知点E是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点F,使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)由抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线经过点B(3,0),可得A(﹣1,0),用待定系数法即可求解; (2)求出直线BC的解析式,设点D坐标为(t,﹣t2+2t+3),则点N(t,﹣t+3),利用勾股定理表示出AC2,AN2,CN2,然后分①当AC=AN时,②当AC=CN时,③当AN=CN时三种情况进行讨论,列出关于t的方程,求出t的值,即可写出点N的坐标; (3)分两种情形讨论:①当BC为对角线时,②当BC为边时,先求出点E的坐标,再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可. 【解答】解:(1)抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0), ∴A(﹣1,0), ∴,解得, ∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3; (2)∵y=﹣x2+2x+3, ∴C(0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+3, 将点B(3,0)代入得:0=3k+3, 解得:k=﹣1, ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3; 设点D坐标为(t,﹣t2+2t+3),则点N(t,﹣t+3), ∵A(﹣1,0),C(0,3), ∴AC2=12+32=10, AN2=(t+1)2+(﹣t+3)2=2t2﹣4t+10, CN2=t2+(3+t﹣3)2=2t2, ①当AC=AN时,AC2=AN2, ∴10=2t2﹣4t+10, 解得t1=2,t2=0(不合题意,舍去), ∴点N的坐标为(2,1); ②当AC=CN时,AC2=CN2, ∴10=2t2, 解得t1=,t2=﹣(不合题意,舍去), ∴点N的坐标为(,3﹣); ③当AN=CN时,AN2=CN2, ∴2t2﹣4t+10=2t2, 解得t=, ∴点N的坐标为(,); 综上,存在,点N的坐标为(2,1)或(,3﹣)或(,); (3)设E(1,a),F(m,n), ∵B(3,0),C(0,3), ∴BC=3, ①以BC为对角线时,BC2=CE2+BE2, ∴(3)2=12+(a﹣3)2+a2+(3﹣1)2, 解得:a=,或a=, ∴E(1,)或(1,), ∵B(3,0),C(0,3), ∴m+1=0+3,n+=0+3或n+=0+3, ∴m=2,n=或n=, ∴点F的坐标为(2,)或(2,); ②以BC为边时,BE2=CE2+BC2或CE2=BE2+BC2, ∴a2+(3﹣1)2=12+(a﹣3)2+(3)2或12+(a﹣3)2=a2+(3﹣1)2+(3)2, 解得:a=4或a=﹣2, ∴E(1,4)或(1,﹣2), ∵B(3,0),C(0,3), ∴m+0=1+3,n+3=0+4或m+3=1+0,n+0=3﹣2, ∴m=4,n=1或m=﹣2,n=1, ∴点F的坐标为(4,1)或(﹣2,1), 综上所述:存在,点F的坐标为(2,)或(2,)或(4,1)或(﹣2,1). 训练提升题型: 1如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于点A、B,交y轴于点C,且. (1)求抛物线解析式; (2)如图,当D为抛物线上一点,横坐标为,请求出CBD的面积; (3)将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度,若点F为新抛物线对称轴上一点,在平面直角坐标系内是否存在点M,使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 2如图,在平面直角坐标系中