2.7二次根式-【高效导学】2023-2024学年八年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

2.7二次根式 导图先学 边学边练 1．二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． 题型1：二次根式的定义 【例】（2023春•崆峒区校级期中）下列根式一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•嘉鱼县期中）下列各式中，是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式2】下列各式是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023春•丽水期末）下列式子一定不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 题型2：求参数的最小值 【例】（2023春•新会区校级期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为　　 A．5 B．3 C．4 D．2 【变式1】（2023春•西青区期中）已知是整数，非负整数的最小值是　　 A．4 B．3 C．2 D．0 【变式2】（2023春•信州区校级期中）若是整数，则正整数的最小值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 2．二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 题型1：二次根式是否有意义 【例】（2023春•中山市月考）若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•灵宝市期中）要使二次根式有意义，的值不可以取　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2023春•巴南区校级月考）若二次根式有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【变式3】（2023•汇川区模拟）要使二次根式有意义，的值可以是　　 A． B．0 C．1 D． 题型2：根据二次根式是否有意义求值 【例】（2023春•包河区校级月考）已知：，则的值是　　 A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1】（2023春•端州区校级期中）若，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（2023春•上高县校级月考）若，则等于　　 A．1 B．5 C． D． 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 题型1：利用二次根号的性质化简 【例】（2023春•禹州市期中）已知，则化简 的结果为　　 A． B． C．2 D． 【变式1】（2023春•尉犁县校级月考）若把根号外的因式移到根号内，则等于　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•淄川区二模）计算的结果是　　 A．0 B．6 C．18 D．9 【变式3】（2023春•景县期中）已知：，且，则的值为　　 A．1或5 B．1或 C．或5 D．或 题型2：数形结合求值 【例】（2023•射洪市校级一模）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•扎兰屯市三模）已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•莱芜区二模）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023春•南宁期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为　　 A．5 B． C． D．无法确定 4．二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 推广：①． ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使