2.5-2.6一元二次方程根与系数的关系及应用-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

2.5-2.6一元二次方程根与系数的关系及应用 导图先学 边讲边练 1.一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为， 则，. 题型1：利用根与系数的关系求代数式的值 【例】已知是方程的一个根，则方程的另一个根是　　 A．1 B．2 C． D． 【变式1】若方程的两根互为相反数，则　　． 【变式2】如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为 　 　． 【变式3】设、是一元二次方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值． （1）； （2）． 题型2：利用根与系数的关系求参数的值（或范围） 【例】（2021秋•碑林区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）若这个一元二次方程有实数根，求的取值范围． （2）若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【变式1】已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围． 【变式2】已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【变式3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且． （1）求的最大值； （2）若，求的值． 2．列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案． 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想． 题型1：数字问题 【例】（2023•滨江区二模）已知点，，是直线上互不重合的三个点，设，，，其中，是常数，　　 A．若，则点在点，之间 B．若，则点在点，之间 C．若，则点在点，之间 D．若，则点在点，之间 【变式1】（2023•蚌山区模拟）代数基本定理告诉我们对于形如（其中，，，为整数） 这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是的约数．例如方程的整数根只可能为，，代入检验得时等式成立．故含有因式，所以原方程可转化为：，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：得到的解为 　 　． 【变式2】（2023•海陵区一模）已知方程的两根分别为，，则的值为 　 　． 【变式3】（2022秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 题型2：传播问题 【例】（2023•镜湖区校级一模）德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均1人传染了人，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•诸暨市月考）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 　 　人． 【变式2】（2023•香洲区校级一模）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　 　个人． 【变式3】（2023•六安三模）春季是传染病多发季节年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 题型3：单循环问题 【例】（2023•花都区二模）为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•青龙县模拟）2022年卡塔尔世界杯足球赛掀起校园足球热，某市青少年校园足球联赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现有校园足球联赛队伍支，共比赛了36场，则下列方程中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•市南区二模）2022年北京冬奥会女子冰变比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（即所有参察队在比赛中均能相遇一次），若单循环比赛共进行了45场，则共有多少支队伍参加比赛？设共有支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为 　 　． 【变式3】（2023春•花山区校级期中）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有 　 　个队参加比赛． 题型4：双循环问题 【例】（2023•佳木斯一模）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比