预习课01 空间向量及其线性运算（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课01 空间向量及其线性运算 1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 解释 (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 【例】下列说法中正确的是(　　)． A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若，则与的长度相等，方向相同或相反 D．若与是相反向量，则 【练】给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②若空间向量满足，，则； ③零向量没有方向； ④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． 其中假命题的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 2 运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 【例】已知空间四边形中，，，，则等于(　　)． A． B． C． D． 【练】化简． 3 共线向量 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线； (4) 与共线的单位向量为. 【例】如图，在平行六面体中，分别是的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①与； ②与； ③与；④与； 【练】已知向量且，则一定共线的三点为(　　)． A． B． C． D． 4 共面向量 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 证明 若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【例】在下列条件中，使与，，一定共面的是(　　) A． B． C． D． 【练1】下列说法中正确的是(　　)． A．平面内的任意两个向量都共线 B．空间的任意三个向量都不共面 C．空间的任意两个向量都共面 D．空间的任意三个向量都共面 【练2】为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数　　． 【题型一】空间向量的线性运算 【典题1】 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于(　　) A． B． C． D． 变式练习 1.如图，在平行六面体中，　（ ） A． B． C． D． 2. 在空间四边形中，连结，．若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为__________． 3.如图，平行六面体中，，，设， ，，试用表示． 【题型二】 空间向量共线问题 【典题1】 对于空间任意一点，以下条件可以判定点共线的是 　 　（填序号）． ①；②； ③；④． 变式练习 1.如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且 ，在上且，判断与是否共线？ 【题型三】空间向量共面问题 【典题1】 已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． （1）；（2）． 变式练习 1.下列等式中，使点与点一定共面的是（ ） A． B． C． D． 2.已知分别是空间四边形的边的中点，用向量法证明：四点共面． 3.如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【A组---基础题】 1.当，且不共线时，与的关系是(　　)． A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 2.下面关于空间向量的说法正确的是(　　)． A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行 B．若向量所在直线是异面直线，则a，b不共面 C．若四点不共面，则向量不共面 D．若四点不共面，则向量不共面 3.已知三棱锥中，是的中点，则(　　) A． B． C． D． 4.在平行六面体中，为与的交点，若，则与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 5