1.4 充分条件与必要条件（5大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 重点：1、掌握充分条件的概念，理解充分条件的意义，会判断条件与结论之间的充分性；2、掌握必要条件的概念，理解必要条件的意义，会判断条件与结论之间的必要性；3、掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性； 难点：1、判断条件与结论之间的充分性与必要性；2、根据充分性与必要性求参数范围。 一、命题的概念及结构 1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 二、充分条件条件与必要条件 1、充分条件与必要条件定义 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。 （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。 2、充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。 三、充要条件 1、充要条件的定义：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 2、充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。 3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 四、充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 五、充分条件、必要条件的判断方法 1、定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论． 2、命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 3、集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围. 4、传递法：由推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件. 六、探求充要条件的两种方法 1、先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． 2、将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 题型一 命题的概念与真假判断 【例1】（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式1-1】（2021秋·高一课时练习）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】（2021秋·高一课时练习）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．形如的数是无理数 B．函数是二次函数 C．若，则方程无实数根 D．若为有理数，则都是有理数 【变式1-3】（2023·高一课时练习）把下列命题改写成“若则”的形式，并判断它们的真假． （1）能被6整除的整数一定能被3整除； （2）二次函数的图像是一条抛物线． 题型二 充分、必要条件的判断 【例2】（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2022秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）“”是“”的（ ） A．充分必要条件