1.2.4二面角-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.4二面角 题型1定义法求面面角 2 题型2三垂线法求面面角 3 题型3向量法求面面角 6 题型4探索性习题 9 知识点一．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． (3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． 知识点二．用空间向量求二面角的大小 定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形 关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ 题型1定义法求面面角 【方法总结】用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． 【例题1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【变式1-1】1.（2023春·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点. (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小. 【变式1-1】2.（2023·高二单元测试）如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 题型2三垂线法求面面角 【方法总结】利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法，这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 步骤： ①作:过二面角的其中一个平上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。 ②证:证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义）。 ③求二面角的面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度） 【例题2】（2023·全国·高二专题练习）如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【变式2-1】1．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考阶段练习）已知二面角的大小为，点，，为垂足，点，，为垂足. 若，，则_______. 【变式2-1】2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点. 将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥. (1)求证：平面ABD； (2)若，求二面角的大小. 【变式2-1】3．（2023春·全国·高二专题练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角. 【变式2-1】4．（2023春·全国·高二专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点. (1)求证：平面平面ABC； (2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【变式2-1】5．（2023春·全国·高二专题练习）在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成的二面角的正弦值. 题型3向量法求面面角 【方法总结】求面面角的步骤 第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标； 第二步 然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量； 第三步 由向量的数量积计算公式即可得出结论. 【例题3】（河南省商丘市2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值.    【变式3-1】1．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，. (1)证明： 平面D