1.2.3直线与平面的夹角-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.3直线与平面的夹角 题型1用定义法求斜线和平面的夹角 2 题型2最小角定理求斜线和平面的夹角 4 题型3向量法求斜线和平面所成的角 5 题型4探索性习题 8 知识点一.直线与平面的夹角 1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°. 2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°. 3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 知识点二.最小角定理 1.线线角、线面角的关系式：如图，AB⊥α，则图形之间的关系式 2.最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 知识点三.用空间向量求直线与平面的夹角 1.定义：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有__       ____=_______. 2.范围：[0,] 题型1用定义法求斜线和平面的夹角 【方法总结】计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 【例题1】（浙江省绍兴市2022-2023学年）在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值. 【变式1-1】1.（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.    (1)用表示，并求出； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1-1】2.（2023·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求点到平面的距离； (3)若，求直线与平面所成角的余弦值． 【变式1-1】3.（2023·全国·高二假期作业）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1． (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．    【变式1-1】4.（浙江省温州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（A卷））“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为_____________.    【变式1-1】5.（2023·全国·高一专题练习）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2最小角定理求斜线和平面的夹角 【方法总结】 求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法． 【例题2】∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角． 【变式2-1】1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ． 【变式2-1】2．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 题型3向量法求斜线和平面所成的角 【方法总结】求线面角的两种思路 （1）线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围. （2）向量法． 方法一：设直线PA的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线PA与平面α所成的角为 θ（θ∈[0,]），α与n的夹角为，则sin θ=lcos |= 方法二：设直线PA的方向向量为a，直线PA在平面α内的投影的方向向量为b， 则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a，b>| 【例题3】若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【变式3-1】1.（多选）（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模