21.1 一元二次方程（讲+练，3题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

21.1 一元二次方程 一、一元二次方程的概念及一般形式 1、概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2、一般形式：。其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 3、一元二次方程的特殊形式 （1）当，时，有：，， （2）当，时，有：， ∵，此方程可转化为： ①当与异号时，，根据平方根的定义可知，，即当，，且 与异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。 ②当与同号时，负数没有平方根，∴方程没有实数根。 二、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 题型一 一元二次方程的概念 【例1】下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（为已知数）； （7）． 【变式1-2】若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【变式1-3】当___________时，是关于x的一元二次方程． 【变式1-4】关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围为________． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，， 【变式2-1】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． （1） （、是常数，且）； （2）； （3）． 【变式2-2】将方程化成的形式，则，，的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 【变式2-4】关于x的方程的一次项系数是，则a的值为______ 题型三 一元二次方程的解 【例3】若是方程的根，则（        ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知是方程的一个根，则的值为__________． 【变式3-2】判断方程后面括号里的数是否为方程的根． （1）； （2）． 【变式3-3】如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2022 C．2023 D．2024 【变式3-4】已知a是一元二次方程的根．求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1 一元二次方程 一、一元二次方程的概念及一般形式 1、概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2、一般形式：。其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 3、一元二次方程的特殊形式 （1）当，时，有：，， （2）当，时，有：， ∵，此方程可转化为： ①当与异号时，，根据平方根的定义可知，，即当，，且 与异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。 ②当与同号时，负数没有平方根，∴方程没有实数根。 二、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 题型一 一元二次方程的概念 【例1】下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】解：①是一元二次方程，②含有两个未知数，不是一元二次方程， ③不是整式方程，不是一元二次方程，④当时，不是一元二次方程； 综上：是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是1个；故选A． 【变式1-1】下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（为已知数）； （7）． 【答案】（1）不是（2）不是（3）是（4）不是（5）不是（6）不是（7）是 【解析】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程， 故不是一元二次方程； （2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程， 故不是一元二次方程； （3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1， 故是一元二次方程； （4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程， 故不是一元二次方程； （5）解：不是整式方程， 故不是一元二次方程； （6）解：中当是，原式化为， 故不是一元二次方程； （7）解：化简即为， ∴是一元二次方程． 【变式1-2】若关于x的方程是一元二次方程，求m的