11.2 与三角形有关的角（讲+练，4题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

11.2 与三角形有关的角 一、三角形的内角 1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°，与三角形的形状无关。 2、推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 注：①己知在三角形中任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数。 二、三角形的外角 1、概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 注：①外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形某条边的延长线； ②每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角；所以一个三角形有六个外角，但每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了。 2、三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和； （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （3）三角形的外角和为360°。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 3、三角形的外角和：三角形的外角和等于360°。 注：三角形的外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，推出三角形的外角和是360°。 题型一 三角形内角和定理的证明 【例1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【变式1-1】如下图所示，能利用图中作法：过点A作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式1-2】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 【变式1-3】学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程． 已知：如图，，求证：． 证明：过点A作直线… 【变式1-4】在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点作直线DEBC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明． 已知：DEBC．求证：三角形三个内角的和等于180°． 证明：过点作直线DEBC． 题型二 三角形内角和定理的应用 【例2】如图，于点，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【变式2-2】如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】是边上的高，平分交边于E，，则的大小是（　　）    A． B． C． D． 【变式2-4】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则____． 题型三 直角三角形的性质的应用 【例3】将一把直尺和一个透明的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，是上一点，于点，于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，，，，则_________．    【变式3-3】如图，在中，，是角平分线，且，求证：．    【变式3-4】如图，点E，F分别在，上，，于点O，．求证：．    题型四 三角形外角的认识与应用 【例4】如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式4-1】如图，以为外角的三角形是_________．    【变式4-2】如图，，，，则的度数是_______． 【变式4-3】如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-4】如图，直线，则（    ）    A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2 与三角形有关的角 一、三角形的内角 1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°，与三角形的形状无关。 2、推论：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 注：①己知在三角形中任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数。 二、三角形的外角 1、概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 注：①外