11.1 与三角形有关的线段（讲+练，7题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

11.1 与三角形有关的线段 一、三角形的边 1、三角形的概念 （1）三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； （2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形； （3）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2、三角形的分类 （1）按边的关系分类：三角形； （2）按角的关系分类：三角形. 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 3、三角形三边关系定理及推论 定理：三角形的两边之和大于第三边；推论：三角形的两边之差小于第三边。 4、解题注意 （1）以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形； （2）在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角； （3）等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形； （4）三角形具有稳定性。 二、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 2、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 4、解题注意 （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线； （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边； （3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 三、三角形的稳定性 概念：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性。 注：①三角形具有稳定性；②四边形及多边形不具有稳定性。要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 题型一 三角形的概念与识别 【例1】关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（    ） A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误 C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误 【变式1-1】图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式1-2】三角形按边长关系，可分为（   ） A．等腰三角形，直角三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三角形 D．等腰三角形，等边三角形 【变式1-3】现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形 按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 【变式1-4】在中，若，则的形状是_________三角形（填钝角、直角和锐角）． 题型二 构成三角形的条件 【例2】在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果三条线段长度的比是：①，②，③，④，⑤，⑥．那么其中可构成三角形的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（        ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2-4】三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于，求三边的长． 题型三 三角形三边关系的应用 【例3】木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？（    ） A．长为的木条 B．长为的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 【变式3-1】有四根木条，长度分别是，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是（   ）个 A．1 B．9 C．3 D．10 【变式3-2】某校九年级1班学生小聪家和小明家到学校的直线距离分别是和．那么小聪，小明两家的直线距离不可能是（    ） A． B． C． D．