21.3 实际问题与一元二次方程（讲+练，9题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 步骤 要求 注意事项 审 审清题意，分清题中的已知量、未知量 分析解题过程，答题中不用体现出来 设 设未知数 直接设元：问什么，设什么为； 间接设元：直接设元有困难时，间接设元 列 根据题意寻找等量关系列方程 避免列出恒等式 解 解方程组（消元求解） 如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量 验 检验方程的解是否符合题意 检验的步骤在解答过程中不用写出来; 方程的解要符合实际问题 答 写出答案（包括单位） 这一步必不可少，是一种规范要求 1、增长率问题 解增长率问题公式：. 在解题过程需注意总量和增长后达到的量的区别，需要注意“增长了”和“增长到的区别。 2、传播问题 “传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播。解决此类问题的关键步骤是明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。 注：疾病传播问题中传染源将参与下一轮传播，而树分支则是树干不参与下一次分支。 3、销售问题 有关利润问题常用的关系是有：利润=售价-成本，利润=成本×利润率，利润率=（售价一成本）÷成本，售价=成本×(1+利润率)。 4、几何问题 几何图形的面积问题常见的有两个类型：①已知周长求矩形面积，这类问题设长或者宽为未知数，把另外一边用含未知数的式子表示出来，再根据矩形的面积公式建立方程；②在矩形花园内修路，这类题常常通过平移构造新矩形，表示出新矩形的长和宽，再根据面积公式列方程。 5、动态几何问题 动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题。解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动。动态几何问题中常关心“不变量”，在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解。 6、数字问题 有关数字的应用题，大致可以分为三类，即一般数目关系问题、连续数问题、数字排列问题。 ①一般数目关系问题，数目关系比较简单，利用加、减、乘、除、和、差、积、商、倍数、余数、大、小、等于以及算律、算序等，就可以根据题目所给的条件列出方程。 ②连续数问题，有三种：连续整数、连续偶数、连续奇数，掌握它们的表示法是解决这类应用题的关键。 ③数字排列问题，例如：三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字 7、工程问题 在解决工程问题时通常把工作总量看成1: 工作量=工作效率×工作时间； 总工作量=每个个体工作量之和； 工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）； 工作效率=1÷完成工作的总时间。 8、行程问题 路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间 顺流速度=静水中的速度+水流速度 逆流速度=静水中的速度-水流速度 题型一 一元二次方程---增长率问题 【例1】某型号的手机连续两次降价，每台售价由原来的2185元降到1580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为______． 【变式1-2】某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解） 【变式1-3】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？（注：所获利息应扣除5%的利息税，）． 【变式1-4】据统计，汽车销售公司3月份销售一种新型汽车8辆，5月份该公司销售这种型新车18辆． （1）求该公司3-5月销售这种新型车数量的月平均增长率； （2）这种新型车进价9万元/辆，该公司售价9.8万元/辆，若使6月份该公司这种新型汽车的销售利润不低于24万元，那么该公司6月份应至少销售这种新型车多少辆? 题型二 一元二次方程---传播问题 【例2】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ）个人． A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2-1】九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有名同学，那么根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出_____个小分支． 【变式2-3】圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？ 【变式2-4】随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信