21.2 解一元二次方程（讲+练，6题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

21.2 解一元二次方程 一、配方法 1、概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 注：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 2、用配方法解一元二次方程的一般步骤 （1）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； （2）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； （4）用直接开平方法解变形后的方程。 3、如果一个一元二次方程通过配方转化成 的形式，那么就有： （1）当时，方程有两个不等的实数根 （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。 二、公式法 1、概念：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 2、判别式：式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即。 （1）当，方程有两个不等的实数根，f(x)的图像与x轴有两个交点； （2）当，方程有两个相等的实根，f(x)的图像与x轴有一个交点； （3）当，方程无实根，f(x)的图像与x轴没有交点。 3、求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 三、因式分解法 1、概念：不用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 注：如果，那么，或。 2、一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 四、直接开平方法 形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者 ， ∴。 注意：若，方程无解。 五、韦达定理（根与系数关系） 将一元二次方程化成一般式之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数，，之间有如下关系： ，。 即：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 六、归纳 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。 题型一 配方法解一元二次方程 【例1】用配方法解方程时，配方后得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【变式1-2】解一元二次方程时，配方后得到方程，则c等于（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【变式1-3】用配方法解一元二次方程化成的形式，则、的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-4】用配方法解方程：． 题型二 配方法的应用 【例2】已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式2-1】已知，，下列结论正确的是（    ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【变式2-2】已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【变式2-3】已知实数，满足，则代数式的最小值等于__________． 【变式2-4】将代数式变形为（其中，为常数），则______． 题型三 公式法解一元二次方程 【例3】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式3-1】根据要求解下列方程． （1）用配方法解方程：． （2）用公式法解方程．． 【变式3-2】已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（    ） A．一切实数 B． C． D． 【变式3-3】关于的一元二次方程＝的两根为________． 【变式3-4】一元二次方程的解为______． 题型四 判别式与根的情况计算 【例4】关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【变式4-1】求证：关于的方程没有实数根． 【变式4-2】已知关于的方程． （1）有两个不相等的实根，求的取值范围； （2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根； （3）有实根，求的最大整数值． 【变式4-3】关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式4-4】已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则