11.1与三角形有关的线段-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十一章 三角形》 11.1 与三角形有关的线段 知识点一 三角形的有关概念 ◆1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ◆2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. ◆3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC， 读作“三角形ABC”. 知识点二 三角形的分类 ◆1、等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. ◆2、等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形. ◆3、三角形的分类 等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. ①按边的相等关系分类： ②按最大内角分类： 三角形 知识点三 三角形的三边关系 ◆三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点四 三角形的高、中线与角平分线 ★★★一、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. ★★★二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. ◆2、三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部. ★★★三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 知识点五 三角形的稳定性 ◆1、三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． ◆2、四边形没有稳定性，即四边形具有不稳定性． 题型一 三角形相关的概念 【例题1】下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【变式1-1】（2023春•建邺区校级期中）如图，以BC为边的三角形的个数是 　 　个． 【变式1-2】如图所示，图中所有三角形的个数为　 　；在△ABE中，AE所对的角是　 ，∠ABC所对的边是　 　；在△ADE中，AD是∠　 　的对边，在△ADC中，AD是∠　 　的对边． 【变式1-3】看图填空，如图． （1）图中共有 　 　个三角形，它们分别是 　 　； （2）△BGE的三个顶点分别是 　 　，三条边分别是 　 　，三个角分别是 　 　； （3）在△AEF中，顶点A所对