专题 与三角形的高、中线、角平分线有关的计算-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十一章 三角形》 专题 与三角形高、中线、角平分线有关的计算 题型一 与三角形的高有关的计算 1．（2022春•沈北新区期中）已知：如图，在△ABC中，∠BHC＝115°，H是高BD、CE的交点，则∠A＝　 　度． 【分析】根据垂直的定义先得到∠AEC、∠ADB的度数，再利用四边形的内角和得结论． 【解答】解：∵CE、BD分别是AB、AC边上的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°． ∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EHD＝360°，∠EHD＝∠BHC＝115°， ∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣115°＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题主要考查了四边形的内角和，掌握“对顶角相等”、“四边形的内角和是360°”是解决本题的关键． 2．在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为　 　． 【分析】分∠C为锐角或钝角两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE；②当∠C为钝角时，如下图所示，∠EAD＝∠DAC+∠EAC，分别求解即可． 【解答】解：①当∠C为锐角时，如下图所示， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°， AE平分∠BAC， ∴∠BAE80°＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝20°， 故：答案是20°． ②当∠C为钝角时，如下图所示， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝20°， 则：∠EAD＝∠DAC+∠EAC＝40°， 故：答案为20°或40°． 【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键． 3．（2023•碑林区校级四模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若，，记S△AOD＝S1，S△BOC＝S2，则的值为 　 　． 【分析】根据两三角形同高时，其面积之比等于底边长之比，据此即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∴S1＝S△DOA＝3S△DOC， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握两三角形同高时，其面积之比等于底边长之比是解答本题的关键． 4．（2022秋•临沭县校级月考）在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积为　 　． 【分析】根据题意得出CD的长度，再利用三角形面积公式求出△ACD的面积即可． 【解答】解：根据题意，分以下两种情况： ①如图： ∵BC＝6，AD＝4，BD＝2， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4， ∴S△ACDCD•AD8， ②如图： ∵BC＝6，AD＝4，BD＝2， ∴CD＝BD+BC＝8， ∴S△ACDCD•AD8×4＝16， 故答案为：8或16． 【点评】本题主要考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 5．（2023春•宝安区校级期中）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，2EC＝5BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝7，则S△ADF﹣S△BEF＝　 ． 【分析】根据高相同时，三角形面积比等于底边之比，分别求出S△ABD，S△ABE，再根据S△ABD＝S△ADF+S△ABF、S△ABE＝S△ABF+S△BEF，用两式相减即得所求的值． 【解答】解：∵S△ABC＝7，D是AC的中点， ∴， ∵2EC＝5BE， ∴， ∴， ∴S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF） ＝S△ADF﹣S△BEF ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，灵活运用高相同时面积与边的关系，巧用两个三角形面积中公共部分来转换成所求面积差是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式） 【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：S△ABCAB•CEBC•AD， ∵AB＝2cm，BC＝4cm， ∴2•CE4•AD， ∴． 【点评】本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键． 7．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝6，CD＝3． （1）请画出AE，CD； （2）求△ABC的面积； （3）若AE＝4，求BC的长． 【分析】（1）画出AE，CD即可； （2）利用三角形面积公式即可求得； （3）根据三角形面积公式得到S△ABCAB•CD，即可得到BC×3＝4，从而求得BC． 【解答】解：（1）画出AE，CD如图： （2）∵AB＝6，CD＝3， ∴S△ABC； （3）∵S△ABCAB•CDBC•AE， ∴BC×4＝9， ∴BC