21.2.4一元二次方程的根与系数的关系-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十一章 一元二次方程》 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点 一元二次方程的根与系数的关系 ◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． ◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ◆3、常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件． 题型一 已知一元二次方程的一个根求另一根或字母的值 【例题1】（2023•乌鲁木齐模拟）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣3＝0的一个根为1，则另一个根为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 解题技巧提炼 当常数项未知时，利用两根的和求另一根；当一次项系数未知时，利用两根的积求另一根． 【变式1-1】（2023•鹿城区校级模拟）若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则该方程的另一个根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝4 C．x＝1 D．x＝2 【变式1-2】（2023春•东莞市校级月考）如果4是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（2023•南海区校级三模）关于x一元二次方程x2﹣2023x+m＝0有一个根是x＝1，则另一个根是（　　） A．x＝2022 B．x＝﹣2022 C．x＝2023 D．x＝﹣2023 【变式1-4】（2023•徐州二模）关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 　 ． 【变式1-5】（2022秋•镇江期中）在关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数，且方程的一个根是﹣6，则方程的另一个根是　 　． 题型二 利用根与系数的关系直接求代数式的值 【例题2】（2023•河北区三模）方程x2﹣2x﹣1＝0的根为x1x2，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（　　） A． B．1 C．﹣3 D． 解题技巧提炼 （1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值. 【变式2-1】（2023•亭湖区校级三模）已知x1、x2是一元二次方程3x2+2x﹣6＝0的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是 　 　． 【变式2-2】（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 【变式2-3】（2023•巨野县三模）设方程x2﹣2023x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 　 　． 【变式2-4】（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【变式2-5】（2023•青山区模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 题型三 利用根与系数的关系变形求代数式的值 【例题3】（2023•耿马县三模）已知一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则的值为（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 （1）设法将求值式变形，使其含有两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积整体代入代数式求值. 【变式3-1】（2023•鄄城县二模）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根分别为x1、x2，则　 　． 【变式3-2】（2023•安陆市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是 　 　． 【变式3-3】（2023•淄川区二模）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式3-4】（2022•新乐市校级模拟）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（　　） A．2008 B．8002 C．2009 D．2020 【变