专题3.6 对数与对数函数（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题3.6 对数与对数函数 【核心素养】 1.以对数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养． 3. 与幂函数、指数函数、二次函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点一 对数及其运算 1.对数的概念 （1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③； （3）对数恒等式alogaN＝N 2.对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. ③logaab＝b(a>0，且a≠1) 知识点二 对数函数及其性质 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.对数函数的图象规律 (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低； (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 知识点三 反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常考题型剖析 题型一：对数的化简、求值 【典例分析】 例1-1. （2022·浙江·统考高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 例1-2. （2022·天津·统考高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 例1-3. （2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【规律方法】 1.对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 2.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 【变式训练】 变式1-1. （2020·全国·统考高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2. （2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ） A． B．3 C．4 D． 变式1-3. （2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． 题型二：对数函数的解析式及其求值 例2-1. （2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2-2.（2023·全国·高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数____________. ①的定义域为； ②； ③当时，. 例2-3.（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________． 【规律方法】 1.对数函数的解析式同时满足： ①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 2.确定对数函数的解析式，常常利用“待定系数法”. 3.涉及对数函数求函数值问题，有时直接将自变量值代入，有时需先求函数的解析式，再求函数值. 【变式训练】 变式2-1. （2006·辽宁·高考真题）设，则______． 变式2-2. （2022秋·北京·高三北京市第十三中学校考开学考试）已知函数，且.则___________；