专题10 离散型随机变量及其分布列（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题10 离散型随机变量及其分布列 知识归纳 1.离散型随机变量的分布列 （1）对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量； （2）一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性质： ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.两点分布（或0－1分布） 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）称为成功概率. 3.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 提醒　超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 4.均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 5.方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则（xi－E（X））2描述了xi（i＝1，2，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度.而D（X）＝（xi－E（X））2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度.称D（X）为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 提醒　（1）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D（X）越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近；（2）方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数. 6.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）. 7.若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）. 8.若X1，X2相互独立，则E（X1·X2）＝E（X1）·E（X2）. 9.若随机变量X服从参数为n，M，N的超几何分布，则E（X）＝，D（X）＝·. 题型归纳 题型一　离散型随机变量分布列的性质 题型二　超几何分布 题型三　离散型随机变量的分布列 题型四　离散型随机变量的均值与方差的性质 题型五　求离散型随机变量的均值与方差 题型六 均值与方差在决策中的应用 题型分类 题型一　离散型随机变量分布列的性质 例1．（2023春•永兴县校级期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离； 其中是离散型随机变量的为　　 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 例2．（2023春•沧州期中）甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得分，共下5局．用表示甲的得分，则表示　　 A．甲胜3局负2局 B．甲胜4局负1局 C．甲胜3局平2局或甲胜3局负2局 D．甲胜4局负1局或甲胜3局平2局 例3．（2023春•西城区校级期中）随机变量的分布列如图，其中，，成等差数列，则　　 0 1 A． B． C． D． 例4．（2023春•吉林期中）已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于　　 0 1 2 3 4 5 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 例5．（2023春•朝阳区校级期中）设随机变量的分布列为，，2，3，则的值为　　 A． B． C． D． 例6．（202