专题12 成对数据的统计分析（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题12 成对数据的统计分析 知识归纳 1.变量的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系； （2）如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关； （3）一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就称这两个变量线性相关. 2.样本相关系数 （1）样本相关系数r＝ ； （2）样本相关系数r的性质 ①当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系； ②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 3.一元线性回归模型 （1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线； （2）经验回归方程为＝x＋， 其中＝＝，＝－； （3）通过求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法. 4.判断回归模型的拟合效果 由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）按照最小二乘法得到经验回归方程＝x＋，其中y叫做观测值，叫做预测值，残差＝y－.相对于样本点（xi，yi）的随机误差＝yi－＝yi－（xi＋）. （1）残差分析法 ①作残差图：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图； ②残差分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高. （2）决定系数 （R2）法：R2＝1－.R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好. 5.分类变量与列联表 （1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量； （2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，X表示相互对立的两个事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互对立的两个事件{Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝0，1）的频数，n是样本量，其样本频数列联表（称为2×2列联表）如表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 6.独立性检验 （1）小概率值α的临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得关系P（χ2≥xα）＝α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值可作为判断χ2大小的标准.概率值α越小，临界值xα越大； （2）χ2的计算公式：χ2＝； （3）独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验； （4）基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立（其中xα为α的临界值）； （5）应用独立性检验解决实际问题的主要环节： ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； ③根据检验规则得出推断结论； ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. （6）独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 题型归纳 题型一　变量间相关关系的判断 题型二　样本相关系数 题型三　线性经验回归问题 题型四 非线性经验回归问题 题型五 等高堆积条形图 题型六 分类变量关联性的判断 题型七 独立性检验的应用 题型分类 题型一　变量间相关关系的判断 例1．（2022秋•成都期末）以下两个变量成正相关的是 　　． ①学生的学籍号与学生的数学成绩； ②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数； ③气温与冷饮销售量； ④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量． 例2．（2022秋•成都期末）以下两个变量成负相关的是 　　． ①学生的学籍号与学生的数学成绩； ②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数； ③气温与冷饮销售