专题11 二项分布和正态分布（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题11 二项分布和正态分布 知识归纳 1.伯努利试验与二项分布 （1）伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验； （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）.对于服从二项分布的随机变量X，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 2.正态分布 若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝.当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布. （1）正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. （2）正态分布的三个常用数据 ①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7； ②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5； ③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 题型归纳 题型一　n重伯努利试验中事件发生的概率 题型二　二项分布的均值与方差 题型三 正态分布 题型分类 题型一　n重伯努利试验中事件发生的概率 例1．（2023春•浦东新区校级期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是　　 A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 例2．（2023春•兖州区期中）某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有3次试验未成功的概率为　　 A． B． C． D． 例3．（2023•雨花区校级一模）若，则当，1，2，，100时　　 A． B． C． D． 例4．（2023春•滨州期中）分布是常见的离散型概率分布，其概率分布列为，2，，其中为自然对数的底数，是分布的均值．当二项分布的很大而很小时，分布可作为二项分布的近似，假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，则　　；已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率为 　　． 例5．（2022春•镜湖区校级期中）甲乙两人参加一个摸球中奖游戏，一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球，从中依次随机摸出3个球，每次摸出1个球，规定至少有2个红球则中奖． （1）若甲采用有放回的方式摸球，求甲中奖的概率； （2）若乙采用不放回的方式摸球，求乙中奖的概率． 例6．（2020春•威海期末）我国的研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通基站超过20万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件和元件按如图方式连接而成．已知元件至少有一个正常工作，且元件正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件和元件正常工作超过10000小时的概率分别为和． （Ⅰ）求该装置正常工作超过10000小时的概率； （Ⅱ）某城市基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数． 【方法小结】 n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略 （1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立. （2）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n，p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n求概率. 题型二　二项分布的均值与方差 例7．（2023春•新罗区校级月考）已知随机变量满足，若，则　　． 例8．（2023春•南关区校级期中）已知随机变量，且，则　　 A． B． C． D． 例9．（2023春•洛阳月考）若，则　　 A．3 B．4 C． D． 例10．（2023春•沧州期中）已知，且，则　　 A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8 例11．（2023春•惠民县期中）已知，且，，则下列说法不正确的有　　 A．， B． C． D．，1，2，，中是最大值 例12．（2023春•皇姑区校级月考）已知某种疾病的某种疗法的治愈率为．若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为，则下列选项中不正确的是