第一章特殊的平行四边形第三节正方形的性质与判定讲义2022-2023学年北师大版九年级数学上册暑假自学练习

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 正方形的性质与判定 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系 包含关系如图所示. 正方形既是矩形，又是菱形. 解题方法 正方形的三个条件：（1)一组邻边相等;（2）有一个角是直角；（3）平行四边形. 例1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当∠ABC＝90°时，它是正方形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当AC⊥BD时，它是菱形 正方形的性质 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 规律总结：正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，若正方形的边长为a，则它的对角线长为 a.对角线的一半为a 例2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°，求证：CE＝DF． 变式：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：△BAE≌△CDE； （2）求∠AEB的度数． 正方形的判定方法 定义法 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 规律总结 判定一个四边形是正方形有两条途径：①先证矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相重直，②先证它是菱形，再证它有一个角是或对角线相等 例3．已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由． 变式：已知：如图，▱ABCD中，延长BC至点E，使CE＝BC，连接AE交CD于点O． （1）求证：CO＝DO； （2）取AB中点F，连接CF，△COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？请说明理由． 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形.如图所示，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB,BC,CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形. 常见的中点四边形如下表： 任意四边形的中点四边形是平行四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 规律总结 中点四边形的判断方法 原四边形 对角线的关系 中点四边形 四边形 既不垂直也不相等 平行四边形 平行四边形 既不垂直也不相等 平行四边形 菱形 互相垂直 矩形 矩形 相等 菱形 正方形 相等且互相垂直 正方形 等腰梯形 相等 菱形 拓展延伸 （1）对角线相等的四边形四边中点所组成的四边形是菱形，（2）对角线互相垂直的四边形四边中点所组成的四边形是矩形. 例4．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 变式：如图，两个全等的直角三角形（△ABC和△ADC）按照斜边重合摆放，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点． （1）判断并证明四边形EFGH的形状． （2）若∠BAC＝30°，AC＝6，求四边形EFGH的面积． 多变题型 题型1．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由． ②CE+CG的值为　 　． 变式：如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长． 题型2．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系． （1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及