第一章特殊的平行四边形第二节矩形的性质与判定讲义2022-2023学年北师大版九年级数学上册暑假自学练习

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 矩形的性质与判定 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 拓展延伸 矩形的定义既是矩形的基本性质，也是矩形的判定方法 解题方法 判定一个四边形是矩形应满足两个条件：一是平行四边形，二是有一个角是直角.二者必须同时满足，缺一不可 例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长． 变式：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在边AD上，BE＝DF，求证：四边形AECF是矩形． 矩形的性质证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A． 在矩形是特殊的平行四边形，它除了具有一般平行四边形的所有性质外，还具有一些特殊的性质. 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对边中点，连线所在的直线为其两条对称轴，对角线的交点为对称中心 拓展延伸：矩形的对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等. 规律总结：若矩形的对角线的较小夹角为60°，则矩形的宽与两条对角线的一半组成的三角形是等边三角形. 例2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 变式：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是CD中点，且∠COD＝60°．如果AB＝2，那么矩形ABCD的面积是 　 　． 、、 直角三角形斜边中线的性质定理 文字语言 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 符号语言 ∵CD是Rt△ACB的斜边中线，∴CD= AB 图示 如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 可以作为直三角形的一种判定方法. 拓展延伸：直角三角形斜边上的中线性质定理体现了直角三角形边和角之间的关系，其适用条件是在直角三角形中. 例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式：如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN． 矩形的判定 判定方法 符号语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 在平行四边形ABCD中，∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 角 判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形 对角线 判定定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形 拓展延伸：（1）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（2）四个角都相等的四边形是矩形。 规律总结：要判定一个四边形是矩形，可直接判定，也可以先判定是平行四边形，再判定是矩形 例4．已知在四边形ABCD中，作AE∥BC交BD于O点且OB＝OD，交DC于点E，连接BE，∠ABD＝∠EAB，∠DBE＝∠EBC．求证：四边形ABED为矩形． 变式：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG． （1）求证：AD∥CF； （2）求证：四边形ADCF是矩形． 多变题型 题型1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝3，求OE和BG的长． 变式：如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长． 题型2．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C、A两点重合，点D落在点G处．已知AB＝4，BC＝8． （1）求证：△AEF是等腰三角形； （2）求线段FD的长． 变式：如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG． （1）判断四边形CEFG的形状，并说明理由． （2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积． 题型3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，