21.2降次解一元二次方程21.2.2公式法讲义2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级上册第二十一章 21.2降次——解一元二次方程讲义 21.2.2 公式法 层级要求： ⑤掌握公式法解一元二次方程。 掌握 ④掌握一元二次方程的根的判定方法。 ③理解求根公式解一元二次方程的思路与方法。 理解 ②理解用一元二次方程的判别式判定方程根的存在情况。 认识 ①了解一元二次方程求根公式的推导过程，知道求根公式导出的前提是≥0。 基础知识详解 知识点一 一元二次方程根的判别式 出题角度1 不解方程，判定根的情况 例1.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． （1）3x2﹣2x﹣1=0 （2）2x2﹣x+1=0 （3）4x﹣x2=x2+2 （4）3x﹣1=2x2． 分析：（1）、（2）直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况； （3）、（4）先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 解：（1）∵△=（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）=16＞0，∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵△=（﹣1）2﹣4×2×1=﹣7＜0，∴方程没有实数根； （3）方程整理为x2﹣2x+1=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根； （4）方程整理为2x2﹣3x+1=0，∵△=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 点拨：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 变式练习1. 不解方程，判别关于x的方程x2﹣2kx+（2k﹣1）=0的根的情况． 出题角度2 根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围 例2. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0，当m取何值时： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根，并求出根； （3）方程没有实数根． 分析: （1）根据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0有两个不相等的实数根时，△＞0，列式求解即可． （2）根据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0有两个不相等的实数根时，△=0，求出m的值，再代入计算即可， （3）根据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0有两个不相等的实数根时，△＜0，列式求解即可． 解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4（m﹣1）m＞0，且m﹣1≠0 ∴m＞﹣且m≠1； （2）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4（m﹣1）m=0，∴m=﹣， 原方程可变形为：﹣x2﹣6x﹣1=0，解得；x=﹣； （3）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0没有实数根， ∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4（m﹣1）m＜0，∴m＜﹣， 点拨：此题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，也考查了解一元二次方程． 变式练习2.已知关于x的一元二次方程 x2+2mx+（m+2）（m﹣1）=0（m为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值；如果方程没有实数根，求m的取值范围． 出题角度3 应用判别式证明方程根的情况 例3.已知，关于的一元二次方程， (1)若，求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）对一元二次方程，先明确其各项系数，，的值，再利用判别式证明方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个整数根，即，由求出的范围，且必须为能被开方的奇数，据此列出关系式，求解． 【详解】（1）证明：对关于的一元二次方程， 其