第一章特殊的平行四边形第一节菱形的性质与判定2022-2023学年暑假自学练习北师大版九年级数学上册

办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 办法总比困难多！ 学科讲义·初中数学·九年级 菱形的性质与判定 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 拓展延伸 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法 解题方法 判定一个四边形是菱形应满足两个条件：一是平行四边形，二是有一组邻边相等.二者必须同时满足，缺一不可. 例1．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ） A. AB=CD B. AD=BC C. AC=BD D. AB=BC 变式：下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是( ) A. AB=CD B. AB=BC C.∠BAD=90° D. AC=BD 菱形的性质证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A． 在菱形是特殊的平行四边形，它除了具有一般平行四边形的所有性质外，还具有一些特殊的性质 拓展延伸 (1)菱形的周长等于边长的4倍.（2）菱形的每条对角线平分一组对角. 规律总结 如果一个菱形的内角为60°或120°，那么内角为60°的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. 例2．如图1-3所示，菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,若AC=4,BD=6，则菱形ABCD的周长为（ ） A.16 B.24 变式：如图所示，菱形ABCD的周长为20，一条对角线AC长为8，另一条对角线BD长为( ) A.16 B .12 C.6 D.4 菱形的判定 边 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 对角线 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 拓展延伸 对角线互相垂直且平分的四边形也是菱形。 易错点津 判定菱形常见的错误说法： （1）有一组邻边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的四边形是菱形;（3）两组邻边相等的四边形是菱形 例3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使平行四边形ABCD是菱形． 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB时，四边形ABCD为菱形．故答案为：AB＝BC． 变式：已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，菱形的面积 菱形的面积可以有两种不同的表示法： 文字语言 符号语言 方法1 菱形的面积=底X高 S菱形=ah(a为底，h为相应的高） 方法2 菱形的面积=两条对角线长乘积的一半 S菱形=ab(a，b分别为两条对角线的长） 拓展延伸：对角线互相垂直的四边形的面积都等于对角线长乘积的一半. 解题方法：菱形的面积可用两条对角线长乘积的一半来求解.注意不要漏乘 。 例4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD＝，菱形ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积． 变式：如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，其中对角线AC的长为10． 计算：（1）对角线BD的长度．（2）菱形ABCD的面积． 多变题型 题型1．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB． （1）求∠DAB和∠CAB的度数； （2）如果AC＝4，求DE和AD的长． 变式：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE．若OA＝8，S菱形ABCD＝96，求DE和OE的长． 题型2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． 变式：如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE． （1）求证：四边形BECF是平行四边形． （2）若△ABC满足什么条件时，四边形BECF为菱形，并说明理由． 题型