精品解析：湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题

长沙市第一中学2022—2023学年度高二第二学期第二次阶段性考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数大致图像为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ） A. B. C. D. 2 7. 以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间内存在导函数，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在区间上的中值点.若关于函数在区间上“中值点”个数为，函数在区间上“中值点”的个数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 1765年数学家欧拉在柏林皇家科学院的《学报》上发表了一个抽彩问题：设张彩票编号从1至，随机抽取三张，那么抽到三张彩票没有连续号码的概率为多少？该问题的结果用组合数可表示为（ ） A B. C. D. 二､选择题：本大题共4小题，每小题5分；共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若∥，∥，则∥ B. 若∥且，则存在唯一的实数，使得 C. 若且，则 D 设向量满足，则 10. 已知函数则下列结论正确是（ ） A. 当时，函数 B. 函数的值域是 C. 函数的值域为 D. 若方程有且仅有一解，则的取值范围为 11. 已知点在圆：上，点，，则（ ） A. 点到直线距离的最小值是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 当为直角三角形时，其面积为3 12. 在直四棱柱中，底面为平行四边形，为中点，点满足.下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 平面截直四棱柱的截面周长为 C. 若平面，则的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 三､填空题：本题共4小题每小题5分，共20分. 13. 已知，则__________. 14. 已知△ABC为等边三角形，点O为△ABC的中心，若以A、O为双曲线E的两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为 _____________. 15. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则__________；__________. 16. 定义为与距离最近的整数，令函数，如：__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的首项. （1）证明：为等比数列； （2）证明：. 18. 已知函数． （1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值； （2）设的内角的对应边分别是且，，求的值， 19. 如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知. （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，平面与平面的夹角的大小为. 20. 某水果超市每天都采购一定量的A级橙子，超市记录了20天橙子的实际销量，统计结果如下表： 销量（） 150 160 170 180 190 200 天数 3 4 6 5 1 1 （1）试估计超市这20天A级橙子销售量的平均值和方差； （2）今年A级橙子的采购价为6元/，超市以10元/的价格卖出.为了保证橙子质量，如果当天不能卖完，就以4元/退回供货商.若超市计划一天购进170或180橙子，你认为应该购进170还是180？请说明理由. 21. 如图，椭圆、双曲线中心为坐标原点，焦点在轴上，且有相同的顶点，，的焦点为，，的焦点为，，点，，，，恰为线段的六等分点，我们把和合成为曲线，已知的长轴长为4. （1）求曲线的方程； （2