第7讲　函数的单调性与最值-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第7讲　 函数的单调性与最值 1、 基础知识 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D:①如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有　　　　,则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增);②如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有　　　　,则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减).  (2)函数的平均变化率的定义 一般地,当x1≠x2时,称=为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率. (3)函数的单调性与平均变化率的联系 图像描述 自左向右看图像是　　　  自左向右看图像是　　　  单调区间 单调递增区间 单调递减区间 平均变化率与函数单调性的联系 =>0在I上恒成立 =<0在I上恒成立 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D 条件 对于任意x∈D,都有　　　  对于任意x∈D,都有　　　  结论 f(x0)为最大值,x0称为 最大值点 f(x0)为最小值,x0称为最小值点 2、 常用结论 1.函数单调性的常用结论: (1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. (4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同. (5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2. (1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数; (2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数. 3.函数最值的结论: (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 3、 分类训练 探究点一　函数单调性的判断与证明 例1 (1)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 (　　) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x| (2)判断函数f(x)=,x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. [总结反思] (1)直接利用函数单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增+增”为增,“增-减”为增,“减+减”为减,“减-增”为减.(2)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1≠x2;②作差求Δf=f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 变式题 (1)(多选题) 下列函数中,值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.y=2x3 B.y=x|x| C.y=x-1 D.y= (2)(多选题) 已知函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),且存在y1,y2∈D,当y1≠y2时,使得f(y1)=f(y2),那么就称f(x)为定义域上的“不严格增函数”.下列所给的四个函数中,为“不严格增函数”的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 探究点二　求函数的单调区间 例2 (1)函数f(x)=lo(-x2+x+6)的单调递减区间为 (　　) A.-2, B.-∞, C.,+∞ D.,3 (2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　.  [总结反思] (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②图像法;③导数法. (2)求复合函数单调区间的一般步骤:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”. (3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接. 变式题 (1) 已知函数f(x)的图像如图2-7-1所示,则函数g(x)=f(x)的单调递增区间为 (　　) 图2-7-1 A.(-∞,-3],[0,3] B.[-3,0],[3,+∞) C.(-∞,-5],[0,1] D.[-1,0],[5,+∞) (2)