4.1数列的概念（第2课时）数列的递推公式与前n项和 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2 数列的概念 第二课时 数列的递推公式及前n项和 一、教学目标 1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。 2.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同。 3.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式。 二、教学重难点 1、教学重点 理解递推公式的含义. 2、教学难点 会用递推公式解决有关问题，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式 1、数列中的每一个数叫做这个数列的 。 2、各项依次叫做这个数列的 (首项)， … ， … 3、数列的一般形式可以写成： a1，a2，a3，…，an，…，简记为 。 {an} 项 第1项 第2项 第n项 一、数列的概念与一般形式： 注意：{ an }与an 区别与联系 { an }表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ； an 只是表示数列{ an }中的第 n 项， 3 知识回顾 3 1、数列的通项公式： ①一些数列的通项公式不是唯一的； ②不是每一个数列都能写出它的通项公式. 数列 {an} 的第n项 an 与序号 n 之间的关系式叫数列的通项公式 2、求数列通项公式的一般方法： ①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。 ②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系， 写出一个满足条件的最简捷的公式。 二、数列的通项公式： 4 知识回顾 注意： 1、常用数列 ①an = n （1, 2, 3, 4, … ） ②an = 2n （2, 4, 6, 8, … ） ③an = 2n+1 （ 3, 5, 7, 9, … ） ⑤an = 2n （2, 4, 8, 16, … ） ④an = 2n-1 （1, 3, 5, 7, 9, … ） ⑥an = n2 （1, 4, 9, 16, 25, … ） ⑦an = n(n+1) ⑧an = (2n-1)(2n+1) 2、关于 (-1)n 即符号 3、常数数列：an = c 5 知识回顾 例4. 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式. (1) (2) (3) (4) 典例分析 解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是 . 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算未寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察. 于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 换个角度观察图中的4个图形，可以发现， a1=1, 且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形. 这样, 例4中的数列的前4项满足a1=1, a2 =3a1 , a3 =3a2, a4 =3a3 , 由此猜测这个数列满足公式： 讲授新课：一、数列的递推公式 7 1、定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 . 如果已知数列的第1项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项.   相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列，求出数列中的任意一项. 给出n的值，可求出数列中的第n项an . 递推公式 由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an . 讲授新课： 一、数列的递推公式 8 典例分析 例5 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项. 解：由题意可知 总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即 Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1