1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1.1 空间中点、线、面的向量表示 1. 能用向量语言描述点、直线和平面; 2. 理解直线的方向向量和平面的法向量. 学习目标 重、难点 1.教学重点:理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.教学难点:建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题. 几何中 点 线 面 向量中 ? ? ? 探究新知 我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. 如何用向量表示空间中的一个点? 思考1 定点O P p 向量的坐标 起点的坐标 终点的坐标 坐标 探究新知 如图,在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P可以用向量 来表示,我们把向量 称为点P的位置向量. 点→点+位置向量 P 几何中 向量中 点 方向向量 a A B 点P在直线l上 充要条件 一个点 一个方向 + 如何用向量表示空间中的直线? 思考2 探究新知 l 如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取 = a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知: 存在实数t,使得 ,即 线→点+方向向量 = t P a A B 进一步地,如图,取定空间中的任意一点O, O 可以得到:P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 =+t ① 或=+t ② ① ②式称为空间直线l的向量表示. 由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. (1)不共线的三点确定一个平面 (2)直线和直线外一点确定一个平面 (3)两条相交直线确定一个平面 (4)两条平行直线确定一个平面 (5)一个定点和两个定方向确定一个平面? 探究新知 如何用向量表示空间中的平面? 思考3 O P a b 这样点O与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出α内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. a b B C P A O 探究新知 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. l 如何用向量表示空间中的平面? 思考 (5)一个定点和两个定方向确定一个平面? (6)一个定点和一个定方向确定一个平面? A P 平面过点A,且是唯一的 a 如图,直线l,取直线l的方向向量a,称向量a为平面的法向量. 如果另有一条直线m⊥,在直线m上任取向量b , b与a有什么关系? 平面的法向量 最好法向量不要出现分数,方便运算 求平面法向量的步骤 y x z D A B C D1 A1 B1 C1 M 典例分析 例1 已知长方体ABCD- A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1 =2,M为AB中点.以D为原点,DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的一个法向量; (2)求平面MCA1的一个法向量. 11 解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1,所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. z是自由变量 1、空间中点、直线和平面的向量表示 点→点+位置向量 线→点+方向向量 平面→点+法向量 设向量 选向量 列方程组 解方程组 赋非零值 得结论 2、归纳求平面法向量的步骤: 课堂小结 $