2.5.2 圆与圆的位置关系教案——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

年级：高二 学科：数学 时间： 主备人：张晓珍 课题 2.5.2 圆与圆的位置关系（第二课时） 教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆与圆的位置关系。 学生在初中的几何学习中已经接触过圆与圆的位置关系，上节已经学习了直线与圆的位置关系，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。 课程目标 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 数学学科素养 1.数学抽象：圆与圆的位置关系 2.逻辑推理：判断圆与圆的位置关系 3.数学运算：判断圆与圆的位置关系 4.数学建模：圆和圆的方程解决实际问题 教学重难点 重点：圆与圆的位置关系及判定方法 难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题 课前准备 多媒体 教学 环节 时间 安排 教师活动 学生活动 设计 意图 批注 2min 35min 3min 1、 情境导学 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。 二、探究新知圆与圆的位置关系的判定方法 1.几何法: 圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=(r2>0), 两圆的圆心距d=|O1O2|=,则有 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图 示 d与r1,r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 2.代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0),两圆的方程联立得方程组,则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 1. 判断下列两圆的位置关系: ①(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16. ②x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0. 解:①根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距 d==5. 因为d=r1+r2,所以两圆外切. ②将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36, 故两圆的半径分别为r1=4和r2=6. 两圆的圆心距 d==3,因为|r1-r2|<d<r1+r2,所以两圆相交. 三、典例解析 例1 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含? 思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值. 解:圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. ∴|C1C2|==a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即0<a<3时,两圆内含. 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系; (2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题. 跟踪训练1 若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为　　　　　.  解析:∵x2+y2=a表示一个圆,∴a>0. 两圆的圆心、半径长分别为(0,0),与(-3,4),6. 由于两圆内切,则=|-6|, 解得a=121或a=1. 答案:121或1 例2已知圆C1:x2+y2+6x-