2023年中考数学三轮冲刺：联想八方，巧证中点 课件

联想八方，巧证中点 例 已知，如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连结BD，且满足BD⊥AD．延长ED，交BC于点F．求证：F为BC的中点． A B C D E F 结论1 如图，若△ABC和△ADE均为等边三角形，则△ABD≌△ACE． 结论2 如图，在四边形ABCD中，若外角∠1＝∠B，则A，B，C，D四点共圆． 例 已知，如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连结BD，且满足BD⊥AD．延长ED，交BC于点F．求证：F为BC的中点． 不难得出∠BDF＝∠FEC＝30°． 第一部分 问题解决 易证△ABD≌△ACE． 所以BD＝CE， 所以∠ADB＝∠AEC＝90°． A B C D E F 例 已知，如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连结BD，且满足BD⊥AD．延长ED，交BC于点F．求证：F为BC的中点． A B C D E F 已知BD＝CE，∠BDF＝∠FEC， 求证：BF＝CF． 第一部分 问题解决 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 解法1（利用轴对称转移边角关系） 以直线EF为对称轴，构造△BDF的轴对称图形△GDF，连结CG． 易得四边形DGCE为平行四边形， 所以CG∥DE， 所以∠1＝∠5，∠3＝∠4． 又因为∠4＝∠5， 所以∠1＝∠3． 所以CF＝FG． 所以BF＝CF． 第一部分 问题解决 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 解法1（利用轴对称转移边角关系） 第一部分 问题解决 以EF为轴构造△CEF的轴对称图形△HEF． 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 将线段BD沿着DE的方向平移至EH，连结BH，CH． 解法2（利用平移转移边角关系） 所以BD＝EH， 又因为BD＝CE， 所以EH＝CE． 因为BD∥EH， 所以∠BDF＝∠HED． 又因为∠BDF＝∠CEF， 所以∠CEF＝∠HED， 所以CG＝HG． 又因为四边形BDEH为平行四边形， 所以EF∥BH， 所以BF＝CF． 第一部分 问题解决 将EC沿着ED的方向平移至DI，连结CI，BI，FI． 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 第一部分 问题解决 解法2（利用平移转移边角关系） 所以BF＝CF． 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 第一部分 问题解决 解法3（利用对称＋平移构造全等） 在EF上取点G，使得EG＝DF． 所以△BDF≌△CEG， 所以BF＝CG，∠B＝∠ECG， 所以∠B＋∠BDF＝∠ECG＋∠E， 即∠CFG＝∠CGF． 所以CF＝CG． 因为BD＝CE，∠BDF＝∠FEC， 解法3（利用对称＋平移构造全等） 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 第一部分 问题解决 延长EF至点P，使得DP＝EF． 所以BF＝CF． 解法4 （利用中心对称，构造“8”字型全等） 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 第一部分 问题解决 过点B作BH∥EC交EF的延长线于点H． 所以∠E＝∠H，又因为∠BDF＝∠FEC， 所以∠BDF＝∠H， 所以BD＝BH， 又由于BD＝EC， 所以BH＝EC． 又因为∠BFH＝∠CFE， 所以△BFH≌△CFE． 还可以过点C作CM∥BD交EF的延长线于点M． 解法4 （利用中心对称，构造“8”字型全等） 视角一 从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 第一部分 问题解决 视角二 从结论出发，巧来添线，构造中位线模型 解法5 连结CD，过点F作FP∥BD交CD于点P，过点P作PQ∥CE交DE于点Q． 所以BF＝CF． 第一部分 问题解决 所以△CPF∽△CDB， 所以FP∶BD＝CP∶CD． 同理可得PQ∶CE＝DP∶DC． 因为∠BDF＝∠DFP，∠FQP＝∠E， 又因为∠BDF＝∠E， 所以∠DFP＝∠FQP． 所以PF＝PQ． 又因为DB＝CE， 所以CP∶CD＝DP∶DC． 所以CP＝DP． 视角三 联想等腰三角形三线合一，四点共圆显神奇． 所以BF＝CF． 同样的，还可以发现A，F，C，E四点共圆．赶紧动手试一试吧． 第一部分 问题解决 因为∠ADE＝∠ABF＝60°， 所以A，B，F，D四点共圆． 又因为AB＝AC， 所以∠AFB＝∠ADB＝90°． 解法6 连结AF， 第二部分 解题小结 1.从条件出发，利用图形变化，转移边角关系，构建基本模型． 2.利用结论，巧来添线，构造中位线模型． 3.从条件和结论一起来看，联想到等腰三角形的三线合一． 第三部分 高观点看问题 解法7