第四章 图形的相似——线段比的认识 同步练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

“十层相似”———相似十大技巧 线段比的认识2 类型一：线段比与面积比 1．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝． （1）求证：△AEB∽△ADC． （2）求△BDE与△ABC的面积比． 2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE：S△CDE＝　 　． 类型二：“三点一线”线段比 注意：1“三点一线”线段比的转换（其他线段比也可部分转换或全部转换）； 2“三点一线”线段比往往涉及“A”、“X”型相似三角形及其构造。 1．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE、DE．AC与DE相交于点F． （1）求证：△ADF∽△CEF； （2）若AD=4，AB=6，求 的值． 2．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=． （1）求证：DE∥BC． （2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=． （3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值． 3．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上． 猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC=2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为　 　． 探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC=1：2，求的值． 应用：在探究的条件下，若CD=2，AC=6，则BP=　 　． 类型三：特殊比值 注意：所求线段比值为特殊比值时，往往题中没有（明显的）比值出现，题中会出现一些全等，中点，特殊角等暗示。 1．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD的延长线，垂足为E． （1）若BD是AC边上的中线，如图1，求的值； （2）若BD是∠ABC的角平分线，如图2，求的值． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，绕B点顺时针旋转得到在Rt△BDE，连接CD并延长交AE于点F． （1）求证：∠CBD＝2∠EDF； （2）若CD＝EF，求的值． 3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上，∠EDF＝60°． （1）当点D为AB中点时，且∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，连接CD，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，如图（1），求证：DE＝DF； （2）过C作BC的垂线交AB恰好为D，若∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E，F，如图（2），求的值． 4．如图1，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，延长AB到G，使BG＝AB．AH⊥BC，垂足为D，且AH＝GH，点F在线段AG上（不与点A，G重合），点K在射线AC上（不与点A，C重合），满足GF＝AK，连接FK，与BC交于点E，连接EH． （1）如图1，猜想线段EF与EH的位置关系，并进行证明； （2）如果∠BAC＝120°，AB＝3BF，求的值，请直接写出结果． 5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，求的值． 6．如图1，在△ABC中，BM是中线，AH是高，HD⊥BM于D，BH＝CM． （1）求证：D为BM的中点； （2）如图2，连接AD并延长交BC于E，若AB＝BM，EA＝EC． ①求证：△BDE∽△ABE； ②求的值． 7．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP． （1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF＝ED； （2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求的值． 8．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（点P不与点A，B重合），连接PD，将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF． （1）求∠PBE的度数； （2）若△PFD∽△BFP，求的值． 类型四：黄金分割比 1．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD，AC于点F，E． （1）求证：△CBF∽△ABE； （2）若AB＝10，BC＝6，求△CBF的面积； （3）若BC＝AD，求的值． 2．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $