第四章 图形的相似——线段比的认识 同步练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

“十层相似”———相似十大技巧 线段比的认识1 技巧八：知比得比，求比知比 1．如图，D是△ABC的边AB上的点，DB＝3AD，过D作DE∥BC交AC于E．BE、CD相交于F． （1）若AE＝2，则EC＝　 　；（2）求：的值． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若＝，求的值． 3．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点． （1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值． 技巧九：知二得比，知比得二，求比知二 注意：相似和勾股中的知二得一及“二”可以是具体数据或者参数 4．如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F． （1）求证：AF2＝EF•FG； （2）如果EF＝，FG＝，求的值． 5．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM，垂足为点N，且BN的延长线交AC于点D． （1）求证：△ABC∽△ADB；（2）如果BC＝20，BD＝15，求AB的长度． 6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB． （1）求证：△ADE∽△EFC； （2）设＝，EF＝15，求线段AB的长． 强化练习 7．如图所示，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交直线BC于F，DE⊥AF交直线BC于E （1）求证：BE＝CF； （2）若点G为AB的中点，求的值． 8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q．（1）求证：△ABP∽△DQR（2）求的值． 9．如图，在△ABC中，D是AB上一点（不与A，B两点重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接CD，且∠ACD＝∠B． （1）求证：CD2＝DE•BC； （2）若DE＝4，BC＝5，求的值． 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E，连结OE，OE交CD于点F． （1）求证：四边形ACED为平行四边形； （2）求的值． 11．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连结DE． （1）求证：△ABE≌△DFA； （2）若AD＝10，AB＝6，求DE的长． 12．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F． （1）求证：△APD≌△CPD； （2）求证：△APE∽△FPA； （3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长． 13．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DBA＝60°，E为线段BD延长线的动点，连接AE、CE，AE交CD延长线于点F． （1）求证：AE＝CE； （2）若DF＝1． ①求点E到CD的距离； ②求的值． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD＝8，BD＝2，Rt△FEG的直角顶点E在AC边上运动，一条直角边EG经过点B，且与CD交于点N，另一条直角边EF与AB交于点M． （1）求证：△AEM∽△CBN； （2）若E是AC的四等分点，求的值． 15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）若AC＝，AB＝2，求的值． 16．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，E是射线BC上一点，且∠DAE＝∠B． （1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△DEA∽△DAC． （2）如图2，已知AB＝AC＝5，BC＝8，点E在BC的延长线上，若AD＝，求CE的长． 17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD． （1）求证：△BFD∽△CAB； （2）求证：AF＝DF； （3）的值等于 　 　． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'． （1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'； （2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值． 19．如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE+∠CBE＝90°． （1）求证：△CAE∽△CBF； （2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长． 20．以O点为直角顶点作Rt△AOB和Rt△COD，使得∠ABO＝∠DCO． （1）如图