第四章 图形的相似——利用相似三角形的判定和性质求线段长 同步练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

“十层相似”———相似十大技巧 利用相似三角形的判定和性质求线段长 技巧五：知三求一 A类 1．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE． （I）求证：△ABE∽△ECD；（Ⅱ）若AB＝4，AE＝BC＝5，求ED的长． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE、BC的延长线相交丁点F，且＝． （1）求证：△ADE～△ACB；（2）当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长． 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长． 4．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． （1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠CBD．求：（1）CE的长；（2）EF的长． B类 6.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝3EF，DF＝1时，求GF的值． 7．在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． （1）求证：△ADQ∽△QCP；（2）若PQ＝3，求AP的长． C类 8．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE． （1）求证：△ADB∽△AEC；（2）若∠BAC＝45°，BC＝6，求DE的长． 9．（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P，求证：四边形CODP是菱形． （2）如图2，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 技巧六：知二求一 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交边BC于点E，交AC的延长线于点F，连结AE． （1）求证：△ADE∽△FDA；（2）若DE＝EF＝1，求AE的长． 11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3cm，求BC的长． 12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F． （1）求证：△EAB∽△ABC； （2）若AD＝2，求AB的长； 技巧七：方程思想（或知二求二，知一求三） 13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于F，BE的延长线交CD的延长线于G． （1）求证：； （2）若GE＝2，BF＝3，求线段EF的长． 14．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF＝32，GE＝8，求BE． 15．如图，EC∥AB，∠EDA＝∠ABF． （1）求证：，． （2）若OF＝2，AE＝3，求AF的长度． 16．如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点． （1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，求证：AM＝AN； （2）若AN＝，DN＝，求DE的长． 17．如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，BE平分∠ABC且交AD于点P，交CD的延长线于点E；作EO交AD于点F，交BC于点G． （1）求证：DF＝BG； （2）若AB＝6，AD＝9，求DF的长． 强化练习 18．如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，且AE＝AB，EF⊥EC，连接BF． （1）求证：△AEF∽△BCE； （2）若AB＝3，BC＝3，求线段FB的长． 19．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D. （1）求证：△BDC∽△CEA． （2）如图2，在▱ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，BE＝4，EC＝3，求▱ABCD的面积． 20．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM，垂足为点N，且BN的延长线交AC于点D． （1）求证：△ABC∽△ADB；（2）如果BC＝20，BD＝15，求AB的长度． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AE⊥CD，垂足为F． （1）求证△CAE∽△CBA； （2）若CD＝2，AE＝3，求AC的长度． 学科网