第四章 图形的相似——等积式与比例式的证明与运用技巧 同步练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

等积式与比例式的证明与运用技巧强化练习 本节任务：学会在等积式和比例式中出现数据或者其他相关题型时如何处理 1．已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，G是线段AD上一点，且AG＝2GD，联结BG并延长，交边AC于点E． （1）求证：＝； （2）如果D是边BC的中点，P是边BC延长线上一点，且CP＝BC，延长线段BE，交线段AP于点F，联结CF、CG，求证：四边形AGCF是平行四边形． 2．如图，矩形ABCD中，点E是AB的中点，过点E作CE的垂线，交CD的延长线于点G，交AD于点F，且F是AD中点． （1）求证：△EBC∽△CEG； （2）求证：BD2＝GD•GC． 3．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE与BF相交于点O，AE＝AD，AE平分BF，AF平分∠DAE． （1）求证：OA＝OE+BE；（2）求证：BE2＝2OE•AE． 4．已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，联结EM，分别交线段AD于点F、AC于点G． （1）求证：＝； （2）当BC2＝2BA⋅BE时，求证：∠EMB＝∠ACD． 5．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G． （1）求证：△CAF∽△CBE； （2）若AF平分∠BAC，求证：AC2＝2AG•AF． 6．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED． （1）求证：DE⊥EF； （2）求证：BC2＝2DF•BF． 7．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF． （1）如图（1），若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF． （2）如图（2），求证：CE•CF＝2AB2． 8．如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作EF⊥BC，分别交AD，BC于点E，F．连接PD，过点P作PM⊥PD，交射线BC于点M，以线段PD，PM为邻边作矩形PMND． （1）若AB＝6，BC＝8， ①当AE＝2时，求CP的长． ②求PM：PD的值． （2）连接CN，当∠DAC＝30°时，求证：2PE•PF＝CN•CF． 9．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD． （1）求证：AB2﹣BD2＝BD•DE； （2）若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值． 10．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N． （1）求证：∠BEF＝45°； （2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB•BM； 11．在如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：2AE2=AC•AP； （3）若AE=8cm，△ABF的面积为9cm2，求△ABF的周长． 12．已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD＝∠B＝∠BAE． （1）求证：；（2）当点E为CD中点时，求证：． 13．如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB的延长线于点E、F． （1）求证：△CDE∽△CBF； （2）求证：AD•DE＝AB•BF； （3）连结AC，如果，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $