第四章 图形的相似——证明比例式或等积式的技巧 同步练习 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

“十层相似”———相似十大技巧 证明比例式或等积式的技巧 “三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出等积式或比例式（或变化后的式子）中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个三角形相似。通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形 ，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中。 技巧一：三点定型 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，求证：AD•AB＝AE•AC． 技巧二：等线段代换 2．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，且DE∥BF，EF∥BD，求证：＝． 技巧三：等比例代换 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：． 技巧四：等积代换 4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D， 求证：CE2＝PE•DE． 5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：＝． 备注：上述技巧不仅用于证明等积式和比例式的题型，还可以灵活使用在其他题型中。 课堂练习 1．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB． 2．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E． 求证：（1）△ADE∽△FDB； （2）CD2＝DE•DF． 3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE． （1）求证：△BDE∽△BCA； （2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB． 4．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD•AC． （1）求证：∠FEB＝∠C； （2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB． 5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC． 6．已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC． （1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝． 7．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：AM2＝MF•MH． （2）若BC2＝BD•DM，求证：∠AMB＝∠ADC． 8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B． （1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE； （2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF． 9．如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD． （1）求证：AE∥DO； （2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：． 10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB． 求证：（1）∠CAE＝∠BAF； （2）CF•FQ＝AF•BQ． 11．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD． （1）求证：AC⊥BE；（2）求证：＝． 12．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD． （1）求证：AB＝CD； （2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD． 13．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD． （1）求证：DE∥CF； （2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC． 14．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F． （1）求证：； （2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE． 15．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD