7.4.1 二项分布-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 二项分布 授课人：XXX 学习目标 通过具体实例，理解伯努利试验及重伯努利试验. 通过具体实例，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 核心素养 1 数学抽象 重伯努利试验的概念. 2 逻辑推理 二项分布的随机变量的均值和方差. 3 数学运算 二项分布的有关计算. 01 伯努利试验 问题探究 问题1 观察以下试验，它们有什么相同的特征？ ①掷硬币试验结果为正面朝上或反面朝上； ②检验一件产品结果为合格或不合格； ③飞碟射击时中靶或脱靶； ④医学检验结果为阳性或阴性. 相同的特征：它们只包含两个可能结果. 伯努利试验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 定义 重伯努利试验 我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 定义 重伯努利试验 1 同一个伯努利试验重复做次； 重复是指每次试验的条件保持不变，各次试验成功的概率相同； 2 各次试验的结果相互独立，互不影响. 3 重伯努利试验的特征 问题探究 问题2 下面3个随机试验是否为重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？ ①抛掷一枚质地均匀的硬币10次. ②某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. ③一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 问题探究 随机试验 是否为𝑛重伯努利试验 伯努利试验 成功事件A P(A) 重复试验的次数 ① ② ③ 是 是 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 某飞碟运动员进行射击 从一批产品中随机抽取一件 A=“正面向上” A=“射击中靶” A=“抽到次品” 0.5 0.8 0.05 10 3 20 02 二项分布 问题探究 问题3 伯努利试验和重伯努利试验的关注点是否一样？为什么？ 在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数. 因为伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件A发生或不发生； 重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了次，所以关注点是这次重复试验中事件A“发生”的次数. 问题探究 问题4 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数的概率分布列是怎样的？ 进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列. 例如，对产品抽样检验，随机抽取件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列. 问题探究 0.8 0.2 用表示“第次射击中靶”，用如图的树状图表示试验的可能结果. 3 2 2 1 2 1 1 0 试验结果 的值 0.8 0.8 0.2 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 问题探究 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果， 它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积. 由概率的加法公式和乘法公式得 ， ， ， . 问题探究 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为，并且与哪两次中靶无关. 因此，3次射击恰好2次中靶的概率为 . 同理可求中靶 0次、1次、3次的概率. . 于是，中靶次数的分布列为 问题探究 问题5 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数等于2的结果有哪些？写出中靶次数的分布列. 连续射击4次恰好2次中靶的所有可能结果可表示为1100，1010，1001，0110，0101，0011，共6个. 中靶次数的分布列为 . 二项分布 问题6 通过以上分析，你能试着将上面问题用一般化的数学语言描述吗？ 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用表示事件A发生的次数，则的分布列为 . 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作 二项分布 问题7 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 二项展开式的通项 . 二项分布 . 如果把看成，看成， 则 就是二项式 的展开式的通项. 二项式定理 . 二项分布 因此，由二项式定理，容易得到 二项分布 问题8 如何判断一个随机变量是否服从二项分布？ 1 对立性 即一次试验中，事件发生与否两者必有其一. 2 重复性 即试验是独立重复地进行了次. 二项分布 问题9 二项分布与两点分布有何关系？ 两点分布是一种特殊的二项分布，即的二项分布. 二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 例题解析 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： （1）恰好出现5次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在内的概率. 分析： 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝