7.4.2 超几何分布-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 超几何分布 授课人：XXX 学习目标 通过具体实例，了解超几何分布及其均值. 能用超几何分布解决简单的实际问题. 核心素养 1 数学抽象 的概念. 2 逻辑推理 超几何分布与二项分布的区别与联系. 3 数学运算 超几何分布的有关计算. 知识回顾 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用表示事件A发生的次数，则的分布列为 . 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作 知识回顾 二项分布的均值与方差 如果 ，那么 ， 01 超几何分布的概念 问题探究 问题1 已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时服从二项分布，即 问题探究 问题2 如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？如果不服从，那么的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布. 问题探究 可以根据古典概型求的分布列. 由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4，从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有件次品的结果数为. 由古典概型的知识，得的分布列为 问题探究 计算的具体结果（精确到0.00001）如下表所示. 0 1 2 3 4 问题探究 问题3 计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗？为什么？ 没有影响. 不考虑抽取的次序时 . 考虑抽取的次序时 . 问题探究 问题4 通过以上分析，你能试着将上面问题用一般化的数学语言描述吗？ 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品. 从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 . 其中，，，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布. 超几何分布 问题5 如何理解 ？ 总数为的产品 次品有件 正品有件 随机抽取件，其中含次品件 当，即，抽到的样本可能没有次品，则 当，即，样本中必有次品，且 超几何分布 问题6 如何理解 ？ 总数为的产品 次品有件 正品有件 随机抽取件，其中含次品件 当抽到的产品件数不大于总体中次品的个数（即）时， 当抽到的产品件数大于总体中次品的个数（即）时， 超几何分布 公式中字母的范围及其意义： ——总体中的个体总数； ——总体中的特殊个体总数（如次品总数）； ——样本容量； ——样本中的特殊个体数（如次品数）. 注意 求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆. 例题解析 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解： 设表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1)， 则服从超几何分布，且，，. 因此甲被选中的概率为 例题解析 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解： 设抽取的10个零件中不合格品数为， 则服从超几何分布，且，，. 的分布列为 例题解析 至少有1件不合格的概率为 例题解析 问题7 还有其他解题方法吗？ 也可以按如下方法求解： 若一个随机事件包含的基本事件较多，则其对立事件包含的基本事件就较少，可利用，即其对立事件的概率来求该随机事件的概率. 例题解析 问题8 总结一下超几何分布的特征. 1 总体含有两类物品； 不放回地抽取； 2 有3个重要参数：，，； 3 概率模型为古典概型. 4 02 超几何分布的均值 问题探究 问题9 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 设随机变量服从超几何分布， 则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数. 令 ，则是件产品的次品率， 而 是抽取的件产品的次品率， 我们猜想，即. 问题探究 令 ，， 由随机变量均值的定义： 当时， 因为 ，所以 当时，注意到①式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. ① 超几何分布的均值 问题10 超几何分布的均值公式，与二项分布的均值公式一样吗？ 从形式上看二者相同，都是 ， 但公式中，的含义不同. 在二项分布中，是伯努利试验重复的次数，是一次试验成功（发生）的概率； 在超几何分布中，是抽取的产品件数，是件产品的次品率. 03 超几何分布与二项分布的关系 例题解析 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本，用表示样本中黄球的个数. （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，