数学培优——三角专练-2023届高三数学一轮复习

高三数学培优——三角专练 1.在锐角△ABC中，内角，所对的边分别为a，b，c，b＝4，c＝6且asinB＝2，D为BC的中点，则AD的长为________． 2.在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 3．在中，角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）设为边AB上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 4．设的三个内角所对的边分别为且. 1)求角的大小； 2)若，求的取值范围． 5．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，． (1)求角B的大小； (2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC边上的中线AM的长． ①的面积为； ②的周长为． 6.在中，角的对边长分别为，的面积为，且． (1)求角的大小； (2)若，点在边上，______，求的长． 用①；②；③这三个条件分别补充在上面的横线上，并逐一完成解答． 7.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若M为的中点，，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学培优——三角专练 1.在锐角△ABC中，内角，所对的边分别为a，b，c，b＝4，c＝6且asinB＝2，D为BC的中点，则AD的长为________． 【解析】方法（向量法）1　由正弦定理可得，又由，可得，又由锐角△，可得，由为的中点可得，两边平方可得，即． 方法2　由正弦定理可得，又由，可得，又由锐角△，可得，在△中, 由余弦定理可得，即，，所以在△中，由余弦定理可得，即． 2.在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长． 【解析】（1）由正弦定理及得，， 由余弦定理可得， 因为，所以． （2）由（1）得角， 又因为为的平分线，点在上，所以， 又因为，且，所以， 所以，在中，由正弦定理得，即，解得． 3．在中，角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角； （2）设为边AB上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 【解析】（1）由已知可得， 即，∴， ∴，∴cos.∵，∴； （2）由（1）知，设点到边的距离为，则点到的边的距离也为， 因为平分，∴， ∵，， 由，得，设，则， 分别在和中由余弦定理得，，. ∴，解得，∴. 4．设的三个内角所对的边分别为且. 1)求角的大小； 2)若，求的取值范围． 解：1）在中，. ， ， 由正弦定理 ， ， ， 2）， ， ，当取得最大值 所求的 5．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，． (1)求角B的大小； (2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC边上的中线AM的长． ①的面积为； ②的周长为． 17.解：(1)∵，则由正弦定理可得， ∴， ∵，∴，， ∴，解得． (2)若选择（1），由（1）可得，即 则，解得， 则由余弦定理可得． 若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 则由余弦定理可得． 6.在中，角的对边长分别为，的面积为，且． (1)求角的大小； (2)若，点在边上，______，求的长． 用①；②；③这三个条件分别补充在上面的横线上，并逐一完成解答． (1)因为，所以， 所以，即． 由正弦定理，得， 所以． 因为，所以，所以． 又，所以． (2) 若选①． 法一：在中，由余弦定理，得 ， 所以，所以． 在中，由余弦定理，得， 即． 在中，由余弦定理，得， 即． 又，所以． 所以， 所以． 法二：因为，所以为的中点， 所以， 所以 ． 所以，即． 若选②． 在中，， 即， 即， 解得． 若选③．在中，由余弦定理，得 ，所以． 因为，又， 所以，解得． 7.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若M为的中点，，求面积的最大值． 【解析】(1)解法一：因为， 由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 为， 所以． 解法二：因为， 由余弦定理得：， 整理得， 即， 又由余弦定理得 所以， 因为， 所以． (2)解法一：因为M为的中点， 所以， 所以， 即， 即， 而， 所以即，当且仅当时等号成立 所以的面积为． 即的面积的最大值为． 解法二：设， 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以 所以①+②式得．③ 在中，由余弦定理得， 而，所以，④ 联立③④得：，即， 而， 所以，即，当且仅当时等号成立． 所以的面积为．即的面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $