考点11平面向量及其应用（20种题型6个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

考点11平面向量及其应用（20种题型6个易错考点） 一、 真题多维细目表 考题 考点 考向 2022新高考1，第3题 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算 2022新高考2，第4题 数量积的综合应用 由夹角相等求参数值 2021新高考1，第10题 数量积的定义及夹角与模问题 利用坐标运算求解向量的模，数量积 2021新高考2，第15题 数量积的综合应用 平面向量的数量积 2021全国乙理，第14题 数量积的定义及夹角与模问题 由向量垂直求参数 2020新高考2，第3题 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算 2020新高考1，第7题 数量积的综合应用 求数量积的取值范围 二、命题规律与备考策略 高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。 高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。 三、2023真题抢先刷，考向提前知 一．选择题（共4小题） 1．（2023•甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（　　） A． B． C． D． 2．（2023•甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（　　） A． B． C． D． 3．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则•＝（　　） A． B．3 C．2 D．5 4．（2023•新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（　　） A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1 二．填空题（共1小题） 5．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝　　． 四、考点清单 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 4．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 6．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 7．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 8．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 9.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·